Lokale Invertierbarkeit (2 Kurven)

Question

Ich hab eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:

Für die Invertierbarkeit ist ja wichtig, dass die Determinante der Jacobi-Matrix ungleich 0 ist. Hier wollen wir ja wissen für welche x,y sie "0 wird".

Wir haben hier ja: det(J_f(x,y))=1-xy

Wir untersuchen daher: 0=1-xy

Dadurch erhalten wir x=1/y und y=1/x. Somit ist f an den beiden Kurven mit x=1/y und y=1/x. nicht lokal invertierbar.

Stimmt das ganze so?

lg

Answer 1

1) Jacobi-Determinante \(\ne0\) ist hinreichend, aber nicht notwendig für lokale Invertierbarkeit.

2) \(y=1/x\) und \(x=1/y\) ist das Gleiche. Es sind nicht wegen dieser zwei Gleichungen zwei Kurven.

Comments

1) Ich glaube "Ein Kriterium für Invertierbarkeit..." wäre besser gewesen..

2) Wie soll das den sonst gehen? :(

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Mit Worten ist es nicht zu retten. Die Kurven \(y=1/x\) sind Kandidaten für Nichtinvertierbarkeit. Dass man die Funktion darauf wirklich nicht invertieren kann, ist noch nachzuweisen. Es koennte trotzdem gehen, wie das simple 1D-Beispiel \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^3\) zeigt.

(Und vielleicht zeichnest Du den Graphen der Funktion \(y=1/x\) einfach mal auf, wenn Du ihn nicht vor Deinem geistigen Auge hast.)