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Sei \( K \) ein Körper und \( A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq n} \in K^{n \times n} \), dann ist die Spur von \( A \) definiert durch
$$ \operatorname{Spur}(A):=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i i} $$
(a) Sei \( f=\sum \limits_{i=0}^{n} c_{i} X^{i} \) das charakteristische Polynom von \( A \). Zeigen Sie:
$$ -c_{n-1}=\operatorname{Spur}(A) \quad \text { und } \quad(-1)^{n} c_{0}=\operatorname{Det}(A) $$
(b) Zeigen Sie: Ist \( A \) invertierbar, dann gibt es ein Polynom \( g \in K[X] \) mit \( A^{-1}=g(A) \)
