Stochastische Prozesse, Übergangsgraphen und Zustandverteilungen angeben

Question

In der Abbildung steht eine Spielfigur am Anfang in der Zelle 3. Von einer Minute zur nächsten bleibt es bei der Wahrscheinlichkeit 0,2 in seiner jeweiligen Zelle oder es wechselt mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 0,4 in die rechte oder linke Nachbarzelle. In den Zellen 1 bis 5 bleibt es für immer gefangen.

a) Zeichnen Sie ein Prozessdiagramm

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Teilchen nach drei Minuten noch nicht gefangen?

c) Bestimmen Sie die Zustandsverteilung des Prozesses nach vier Minuten.

Leider habe ich die Einführungsstunden zum Thema Stochastische Prozesse/ Übergangsgraphen in meinem Mathe Kurs verpasst und verstehe daher nichts. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Aufgabe machen könnte, ich brauche auch nicht die Lösungen sondern eher den Lösungsweg "für dumme". Und bitte keine Matrix aufstellen, denn sowas hatten wir bisher noch nicht. Wir haben immer Tabellen mit Pfeilen zu den nächsten Zustand und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Comments

Mal ein Tipp: Auf den Seiten davor befinden sich sehr ausführliche Beispiele zu ähnlichen Fragestellungen.

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Danke sehr, das habe ich schon gemacht, aber weiterhelfen tut es mir nicht weil die num Prozessdiagramme erklären

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Hm... der Prozess kennt fünf verschiedene Zustände 1, 2, 3, 4 und 5, entsprechend den fünf verschiedenen Zellen, in denen sich die Figur aufhalten kann. Er startet in Zustand 3 und kann in diesem Zustand bleiben oder nach 2 bzw. 4 wechseln. In Zustand 2 kann die Figur bleiben oder nach 1 bzw. nach 3 wechseln. Ähnliches gilt für Zustand 4. Die Zustände 1 und 5 sind absorbierend, das heißt, die Figur ist in den entsprechenden Zellen gefangen gefangen und der Prozess kann diese Zustände nicht mehr verlassen.

Im Zustandsdiagramm benötigst du also zunächt mal fünf Knoten für die fünf Zustände. Die Wechselmöglichkeiten nach einem Schritt werden durch Pfeile zwischen den Zustandsknoten in Richtung der möglichen Wechsel gekennzeichnet. Die Pfeile werden mit den jeweiligen Übergangswahrscheinlichkeiten beschriftet.

Answer 1

Die Übergangsmatrix ist   M=

1     .4      0    0    0
0     .2     .4    0    0
0    .4      .2    .4   0
0    0      .4     .2    0
0    0       0    .4     1

Berechne M³ und du siehst:

Die Wahrscheinlichkeit von 3 weder

nach 1 noch nach 5 zu gelangen ist

0,176 + 0,2 + 0,176 = 0,552

also 55,2 %

Comments

Und bitte keine Matrix aufstellen, denn sowas hatten wir bisher noch nicht.

Frage bitte komplett lesen.

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Na dann versuchen wir es mal langsam:

Damit das Ding nach 3 Minuten nicht gefangen ist, gibt es folgende

Wege:

nie wechseln:

3-3-3-3

zweimal bleiben einmal wechseln

3-3-3-2

3-3-3-4

3-3-2-2

3-3-4-4

3-2-2-2

3-4-4-4

zweimal wechseln einmal bleiben

3-3-4-3

3-3-2-3

3-2-2-3

3-2-3-3

3-4-3-3

3-4-4-3

immer wechseln

3-4-3-4

3-4-3-2

3-2-3-2

3-2-3-4

Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen

Wege kannst du mit den gegebenen Werten berechnen

p(3-3-3-3)=0,2*0,2*0,2 = 0,008

p(3-3-3-4)=0,2*0,2*0,4=0,016

von dem Typ gibt es 6 Stück, also

p(2 mal bleiben einmal wechseln) = 6*0,016=0,096

und 6 Stück von Typ: einmal bleiben zweimal wechseln

gibt p = 6*  ( 0,4*0,4*0,2) =0,192

und die letzten 4

p= 4* 0,4³ =0,256

gibt zusammen 0,008+0,096+0,192+0,256

= 0,552 = 55,2%

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Vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ich habe endlich verstanden wie man Aufgabenteil b lösen kann :) Ich versuche mal c alleine zu lösen, müsste ja nach dem gleichen Prinzip gehen, oder? Und ich habe noch eine Frage, sollte ich diese Zahlenabfolgen (3-3-3-3 und so weiter) mit Hilfe eines Baumdiagramms ermitteln oder wie haben Sie das gemacht? (Also die verschiedenen Ereignisse/Kombinationen von Zellen)

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Ich habe mir einfach überlegt wie er gehen kann, dass er in den  3

Schritten weder bei 1 noch bei 5 ankommt. Und das so nach

nie wechseln, einmal wechseln etc. eingeteilt.

Baum fände ich da eher etwas umständlich, ist aber wohl

auch Geschmacksache.

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Ob Baumdiagramm oder nicht ist gar keine Geschmacksfrage, denn der Baum würde mit der Zeit rasant und ohne Ende anwachsen, so dass man bereits nach 10 Minuten nicht mehr wissen möchte, wie der Baum aussehen würde. Das ist auch ein Grund, weswegen man stattdessen endliche und auch übersichtliche Prozessdiagramme bevorzugt. Das aber wird in dem Buch, aus dem der Ausschnitt stammt, auf den Seiten zuvor im Detail und an Beispielen abgehandelt.

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Ich habe das gerade eben mit einer Tabelle für die Zustandverteilung für c) versucht aber ich kriege einfach falsche Zahlen raus...Könnten Sie mir den Ansatz für c) sagen?

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0 Min: \((0,0,1,0,0)\)

1 Min: \((0,0.4,0.2,0.4,0)\)

wären die ersten beiden Zeilen.

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Ich denke mal, das soll heißen:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Spielfigur nach 4 Minuten auf

jedem der Felder:

also musst du quasi alle Wege der Länge 4 durchgehen und schauen

wieviel % davon in den einzelnen Stationen landen.

Ohne Matrix ist das natürlich eine Riesenrechnerei

(jedenfalls fällt mir nichts Einfaches ein.)

Mit Hilfe der Matrix kann ich dir zumindest die Ergebnisse nennen:

p(1) = 22,4%

p(2)=17,6%

p(3)=20%

p(4)=17,6%

p(5)=22,4%

Das die Verteilung symmetrisch ist, ist ja klar; mit der

Erkenntnis kann man die Rechnung wohl etwas abkürzen und

braucht nur p(1) und p(2) errechnen.

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Danke sehr, ich habe jetzt die ganze Aufgabe fertig bekommen :)