Grenzwertuntersuchung an der Stelle x=1 von (x^3-x)/(x-1)

Question

\( \lim\limits_{x\to1} \frac{x^{3}-x}{x-1} \)

Ich soll den Grenzwert ermitteln, kann aber die 1 noch nicht eingeben, da der Term sonst nicht definiert ist. Leider weiß ich nicht wie ich ihn richtig ausklammern soll. Außerdem möchte ich gern wissen, wie ich am besten ausklammere wenn ich Potenzen drin habe, die höher sind als  x²  

Answer 1

Hi,

$$\frac{x^3-x}{x-1} = \frac{x(x^2-1)}{x-1} = \frac{x(x-1)(x+1)}{x-1} = x(x+1)$$

 

Wir haben also offensichtlich eine hebbare Definitionslücke. Für x=1 haben wir den Wert 2. Der gesuchte Grenzwert ist folglich ebenfalls 2.

 

Grüße

Comments

Eine Frage habe ich noch, wie klammere ich zum bsp. x⁴ -16 aus?

---

Auch hier denke an die dritte binomische Formel:

x^4-16 = x^4-2^4 = (x^2-2^2)(x^2+2^2) = (x^2-4)(x^2+4)


;)

---

Und den letzten Schritt kann sich der Fragesteller dazu ja selbst überlegen.

---

\( \lim\limits_{x\to-2} \frac{x^{4}-16}{x+2}=\frac{\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right)}{x+2}=\frac{((x-2)(x+2)) · ((x+2)(x+2))}{x+2} \)

So weit bin ich gekommen, ich hoffe das es richtig ist. Aber jetzt hänge ich leider fest. Ich könnte zwar x+2 kürzen, würde aber beim Einsetzen von -2 wieder auf Null kommen. Wie geht es weiter?

---

Es ist x^2+4≠(x+2)(x+2). Lass das einfach als x^2+4 stehen.

Richtig ist aber der erste Teil mit x^2-4 = (x-2)(x+2)! ;)


Kürze und Du wirst nicht mehr 0 erhalten (was übrigens kein Problem ist, solange es der Nenner nicht ist).

---

Ok, aber wieso ist x²+4≠(x+2)(x+2)? Das ist mir noch unklar.

---

Rechne Dir (x+2)(x+2) aus ;).

Du wirst nicht auf x^2+4 kommen.

---

doch, ehrlich gesagt komme ich da drauf

---

Du hast bei (x+2)(x+2)=(x+2)^2 auch die erste binomische Formel berücksichtigt? ;)

---

Aber muss ich doch die dritte anwenden?

---

Du musst immer diese anwenden, die zugeschnitten ist.

1. (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

2. (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2

3. (a-b)(a+b) = a^2-b^2

Es gibt also keine binomische Formel, die auf x^2+4 passen würde -> Also einfach so stehen lassen.

---

okay, ich habe es so stehen lassen und x+2 rausgekürzt. dann habe ich für x die -2 eingesetzt und komme trotzdem auf Null.

---

Du hast doch nun

$$\frac{x^4-16}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{x+2} = (x-2)(x^2+4)$$

Setze da die x=-2 ein: -4*((-2)^2+4) = -4*8 = -32

Und das ist nicht 0. Wie gesagt wäre das aber ohnehin kein Problem. 0 ist durchaus ein akzeptabler Wert.

Für y=x^2/x an der Stelle x=0 hat man auch den Wert y=0, wenn man die Definitionslücke zu schließen wünscht ;).