Lineare Algebra: windschiefe Geraden

Question

ich weiß nicht was ich falsch gerechnet habe. Hier ist die Aufgabe:

Ich habe zuerst den Abstand gerechnet

d(t) = √ ((0+0t)-(7+4t))² + ((1+t)-(7-5t))²+((2+t)-2t)²  in GTR Minimum gesucht und das ist t =0,189

dann habe ich den Wert t in die Gleichungen gesetzt, damit ich die Punkte habe und sie lauten G(0 |1,189| 2,189) und

H( 7,756 | 6,005 | 0,378). Aber die Lösung sagt, dass die Punkte falsch sind.

Comments

Das Problem ist wohl, dass die beiden t unabhängig voneinander variieren können. D.h. du solltest da ein t und ein s verwenden.

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Du musst beachten, dass das t in den beiden Parameterdarstellungen nicht den selben Wert haben muss, du hast also 2 Parameter, die das Ergebnis beeinflussen.

Answer 1

Tipp:

die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen zwei Geraden steht immer senkrecht auf den beiden Geraden.

Leite damit zwei Gleichungen her, mit denen du die beiden Parameter s und t (Bezeichnung wie Lu vorgeschlagen hat)

bestimmen kannst.

Comments

meinst du, dass ich den Normalenvektor bilden und eine Ebene und eine Hilfsgerade machen soll?

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Eigentlich habe ich das so gemeint:

Berechne zuerstmal den Differenzvektor

$$ { \vec{ x } }_{ s }-{ \vec{ x } }_{ t } $$

Dieser soll senkrecht auf beiden geraden stehen, also muss

das Skalarprodukt des Differenzvektors mit den Richtungsvektoren

0 ergeben. Das gibt dann die zwei Gleichungen

$$ ({ \vec{ x } }_{ s }-{ \vec{ x } }_{ t })*\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}=0\\({ \vec{ x } }_{ s }-{ \vec{ x } }_{ t })*\begin{pmatrix} 4\\-5\\2 \end{pmatrix}=0 $$

Das ist ein lineares Gleichungssystem, was man lösen kann.

Ich habe auch einen Link gefunden, bei dem eine Skizze den Sachverhalt nochmal verdeutlicht.

http://www.mathematik-oberstufe.de/vektoren/a/abstand-gerade-ws-lot-lfd-punkt.html

Answer 2

1. Möglichkeit über die Analysis und partielle Ableitungen

Verbindungsvektor bestimmen

GH = H - G = ([7, 7, 0] + s·[4, -5, 2]) - ([0, 1, 2] + r·[0, 1, 1]) = [4·s + 7, -r - 5·s + 6, -r + 2·s - 2]

Das Quadrat des Abstandes bestimmen

f(r, s) = |GH|^2 = (4·s + 7)^2 + (-r - 5·s + 6)^2 + (-r + 2·s - 2)^2 = 2·r^2 + 6·r·s - 8·r + 45·s^2 - 12·s + 89

Partielle Ableitungen gleich Null setzen

df/dr = 4·r + 6·s - 8 = 0

df/ds = 6·r + 90·s - 12 = 0 --> r = 2 ∧ s = 0.

Damit sind die Punkte

G = [0, 1, 2] + 2·[0, 1, 1] = [0, 3, 4]

H = [7, 7, 0] + 0·[4, -5, 2] = [7, 7, 0]

2. Möglichkeit über ein Lineares Gleichungssystem

Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren über das Kreuzprodukt bilden

k·n = [0, 1, 1] ⨯ [4, -5, 2] = [7, 4, -4]

Die Geraden über den Verbindungsvektor gleichsetzen

[0, 1, 2] + r·[0, 1, 1] + s·[7, 4, -4] = [7, 7, 0] + t·[4, -5, 2] --> r = 2 ∧ s = 1 ∧ t = 0

Damit sind die Punkte

G = [0, 1, 2] + 2·[0, 1, 1] = [0, 3, 4]

H = [7, 7, 0] + 0·[4, -5, 2] = [7, 7, 0]