Nachweis aller Schnittstellen

Question

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ich habe die Aufgabe, dass ich alle Schnittpunkte der Funktionen f(x) und p(x) berechnen muss - soweit so gut, h(x) = f(x)-p(x) gebildet, sowie die 1. Ableitung h'(x) und dann mittels Newton-Verfahren die beiden Nullstellen (==Schnittstellen) berechnet.

Da ich mir die Funktionen visualisiert habe, weiß ich auch, dass es zwei Schnittstellen gibt, welche ich auch beide berechnet habe. Aber: Als letzter Satz der Aufgabenstellung wird verlangt, dass ich nachweise, dass alle Schnittstellen gefunden wurden. Bei ganzrationalen Funktionen wäre dies einfach (wie es p(x) ist diese hat den Grad 2). f(x) ist allerdings (x-2)^2 * e^x. Ich weiß auch, dass e^x keine Nullstellen hat, nur wie kann ich das jetzt formal beschreiben, dass es maximal zwei Schnittstellen gibt?

Gruß,

Marco

Comments

Könntest du beide Funktionen zur Verfügung stellen. Das ist sicher einfacher als das allgemein für p(x) = ax^2 + bx + c zu probieren.

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Es wäre ungemein hilfreich
wenn du einmal die beiden Funktionen
angeben würdest.

mfg Georg

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Tipp: betrachte das Grenzwertverhalten der Funktion und deren erste Ableitung. Schließe damit weitere Nullstellen aus.

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die Funktion p(x) = -5/8 x^2 + 7/2x - 15/8.

Und f(x) = (x-2)^2 * e^x

Gruß,

Answer 1

es ist lim x --> ±∞ f(x)-p(x)=∞

h(x)=f(x)-p(x)

Du hast nun die zwei Nullstellen von h(x).

Zeige : es ist h'(x)=<0 für x<x₁

und h'(x)>0 für x>=x₂

, wobei die Nullstellen so angeordnet wurden, dass x₂>x₁.

Comments

Danke, dies werde ich tun!

Gruß

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Ich hatte mich oben verschrieben. Gemeint ist natürlich die Ableitung von h(x).

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Ja das hatte ich mir gedacht :) Nochmals vielen Dank, es hat jetzt auch "klick" gemacht wieso das so ist :)

Answer 2

Die Nullstellen von h(x)= (x-2)² können nur Lösungen der Faktors (x-2)² sein (der andere hat keine Nullstellen.und  (x-2)² hat genau eine Nullstelle bei x=2 Wenn die Funktion allerdings nicht h(x) sondern f(x) ist, wüsste ich gerne, wie g(x) lautet.

Comments

Hi Roland,

 p(x) = -5/8 x² + 7/2x - 15/8.

Gruß

Answer 3

Schnittstellen
p ( x ) = f ( x )
-5/8 x² + 7/2x - 15/8 = (x-2)² * e^x 

Die Graphen

Die Schnittstellen sind nur über z.B. das
Newton-Verfahren zu bestimmen.

Comments

Ja, dies habe ich ja auch bereits getan. Es geht nur darum wie ich nachweisen kann, dass ich ALLE Schnittstellen gefunden habe :)

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hallo habe die gleiche Aufgabe, also mit dem Nachweisen das alle Schnittstellen gefunden wurden.

Kann mir einer vielleicht nochmals erklären warum es genau nur 2 Schnittstellen gibt.

Danke schon mal im Voraus

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Nach dem Chaos in den obigen Antworten :
ist die Schittstelle zwischen den Funktionen

p ( x ) = -5/8 x^2 + 7/2x - 15/8
f ( x ) = (x-2)^2 * e^x 

gesucht ?

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Ja genau habe die 2 Schnittstellen auch gefunden.

Ein weiterer Teil der Aufgabe ist nachzuweisen das es nur diese zwei Schnittstellen gibt 

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Vielleicht so
p ist eine nach unten geöffnet Parabel
mit Nullstellen bei x = 3/5 und x = 5.
( blau )

( x -2 ) ^2 ist eine nach oben geöffnete
Parabel mit Nullstelle bei x = 2

Da die Nullstelle von ( x -2 ) ^2 zwischen
den beiden Nullstellen von g liegt und die
eine Parabel nach oben die andere Parabel
nach unten geöffnet ist gibt es nur 2
Schnittstellen. ( rot )

f = ( x -2 ) ^2 * e^x ist, da e^x stets positiv ist
eine etwas " verzerrte Parabel " die auch nach
oben geöffent ist und nur 2 Schnittstellen
mit f hat. ( grün )