Ableitung Quotientenregel Bruch natürliche Zahl

Question

\( f(x) = \frac{8 x}{2+0,2 x}+2-x \)

Die erste Ableitung soll heißen:

\( f' (x) = \frac{-0,04 x^{2}-0,8 x+12}{(2+0,2 x)^{2}} \)

Kann jemand mir bitte helfen und die Zwischenschritte erklären?

Answer 1

 

hier wenden wir die Summen- und die Quotientenregel an: 

f(x) = 8x / (2 + 0,2x) + 2 - x

Summenregel: 

f'(x) = (8x / (2 + 0,2x)' + 2' - x' =

f'(x) = (8x / (2 + 0,2x)' + 0 - 1

Für den Ausdruck in Klammern jetzt die Quotientenregel (u/v)' = (u'v - uv')/v²

u = 8x , also u' = 8

v = 2 + 0,2x , also v' = 0,2 und v² ? (2 + 0,2x)²

Alles in die rote Formel eingesetzt: 

(8x / (2 + 0,2x)' = [8 * (2 + 0,2x) - (8x * 0,2)] / (2 + 0,2x)²

= (16 + 1,6x - 1,6x ) / (2 + 0,2x)²

= 16 / (2 + 0,2x)²

Also insgesamt: 

f'(x) = 16 / (2 + 0,2x)² - 1

Erweitern mit (2 + 0,2x)² ergibt

[16 - (2 + 0,2x)²] / (2 + 0,2x)²

=

(16 - 4 - 0,8x - 0,02x²) / (2 + 0,2x)²

=

(-0,04x² - 0,8x + 12) / (2 + 0,2x)²

 

Alles klar? 

Comments

Bin begeistert von der Hilfe hier!!!
Tausend Dank!!!!


Abschließende Frage habe ich doch noch (bin etwas Mathe Begriffstutzig *g*
Wenn ich den Term mit (2 + 0,2x)² erweiter, bedeutet das immer für die Folgezeile, dass ich das subtrahieren muss ? So wie hier 16 - (...usw) ??

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ach >.< ich hab die -1 unterschlagen! Deswegen wird daraus 16-(2+0,2x)² usw...

DANKE!!!

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Sehr gern geschehen :-)

Zur Erweiterung:

16 / (2 + 0,2x)² - 1

Erweiterung mit (2 + 0,2x)² ergibt:

16 / (2 + 0,2x)² - (2 + 0,2x)² / (2 + 0,2x)²

Und jetzt haben wir zwei Brüche mit dem Nenner (2 + 0,2x)²

und den Zählern 16 und - (2 + 0,2x)²

Da vor dem 2. Zähler ein Minuszeichen steht, müssen wir natürlich rechnen

16 - (2 + 0,2x)²

um den Zähler des "finalen Bruchs" :-)

zu erhalten. 

Verständlich?

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und jetzt weiteres Problem,

ich soll diese Aufgabe nach X auslösen....... könnt ihr mir noch einmal helfen?

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Was heißt "nach x auflösen"?

Dass dann am Schluss etwas dasteht wie

x = soundsoviel y
?

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ja genau. also das x links von "=" steht und rechts eine zahl
ich hab probleme, wenn ich den Bruch mit (2+0,2x)² erweiter. Ich weiß dann nicht, wie der Term im Zähler sich darstellen lässt mit (2+0,2x)² - muss ich Binomi anwenden??

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Ich habe es versucht mit Erweitern und Polynomdivision, aber bin nicht weiter gekommen. 

"x = Zahl"

geht ja ohnehin nicht, weil Du ja keine Gleichung gegeben hast;

wenn z.B. dastehen würde: 

8x / (2 + 0,2x) + 2 - x = 5 oder = 0 oder so etwas, 

dann hätten wir eine Gleichung und könnten sie im Allgemeinen nach x auflösen. 

So hast Du ja nur einen Term. 

Verstehst Du mein Problem?

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oops. hätte ich vielleicht dazu sagen sollen, dass man einfachkeitshalber einfach =0 setzt?
Also dann würde die Gleichung lauten

(-0,04x2 - 0,8x + 12) / (2 + 0,2x)² = 0

wenn ich das nun mit (2 + 0,2x) ² erweiter, dann fällt der Bruch weg und rechts vom = - Zeichen bleibt es ja Null.
Und danach geteilt durch -0,04 rechnen, um dann die pq Formel anwenden zu können?? Sind x1= 10 und x2= -30 richtig??

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O.k. - das ist besser :-)

Du hast aber in Deiner Berechnung jetzt die f'(x), also die 1. Ableitung = 0 gesetzt, nicht die Ursprungsfunktion f(x). 

Gut, beide Seiten mit (2 + 0,2x)² multiplizieren, um den Bruch wegzukriegen, ist richtig. 

Dann durch -0,04 dividieren ergibt

x² + 20x - 300 = 0

x₁ = -10 - √(100 + 300) = - 10 - 20 = -30

x₂ = - 10 + 20 = 10

Alles richtig gemacht, prima!

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TAUSEND DANK nochmal!!!!
Bin so happy hier Hilfe bekommen zu haben!!!!
Ärger mich nur, dass ich erst jetzt auf diese Website gekommen bin ^.^

Bist du auch fit in Finanzmathe?

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Freut mich, wenn ich helfen konnte!!

Finanzmathe ist - glaube ich - nicht so mein Ding; ein paar Zinsen ausrechnen kann ich vielleicht noch, aber wenn es um "nachschüssige Rentenzahlungen" oder ähnliches geht, kenne ich mich nicht aus.

Es gibt aber hier Leute wie "Unknown", den "Mathecoach" und andere, die praktisch jedes Mathe-Thema beherrschen.

Sonst kannst Du ja auch mal ganz oben rechts in das Feld "Ich suche" irgendwelche Themen eingeben, und Du wirst sicherlich einige Fragen und Antworten finden, die für Dich interessant sind.

Besten Gruß :-)

Answer 2

f(x) = 8·x/(2 + 0.2·x) + 2 - x

f'(x) = (8·(2 + 0.2·x) - 8·x·0.2) / (2 + 0.2·x)^2 - 1

f'(x) = (16) / (2 + 0.2·x)^2 - (2 + 0.2·x)^2 / (2 + 0.2·x)^2

f'(x) = (16 - (0.04·x^2 + 0.8·x + 4)) / (2 + 0.2·x)^2

f'(x) = (- 0.04·x^2 - 0.8·x + 12) / (2 + 0.2·x)^2

Eventuell ist es schlau das Ganze aber auch mit 25 zu erweitern

f'(x) = (- x^2 - 20·x + 300)/(x + 10)^2

Comments

wow!
Lieben Dank für die schnelle Antwort.

Aber leider noch eine Frage:

ich habe die Zusammenfassung von Zeile 2 zu Zeile 3 nicht richtig verstanden. Dementsprechend leider auch nicht, wieso dann aus einem Bruch, 2 Brüche gemacht werden??

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Zunächst habe ich den Zähler des ersten Bruches ausmultipliziert und zusammengefasst

8·(2 + 0.2·x) - 8·x·0.2 = 16

Das solltest du denke ich nachvollziehen können.

Ansonsten habe ich die -1 nur als Bruch geschrieben. Wir können ja Brüche nur addieren wenn sie gleichnamig sind.