Konvergenz der Folge mit Epsilon beweisen

Question

b_n=(-1)ⁿ . Meine Behauptung lautet, dass diese Folge divergiert. Dieses möchte ich gerne mit Epsilon nachweisen. Wie würdet ihr dabei vorgehen?

 Als Grenzwertkandidaten bieten sich -1 und +1 an. Ich wählte 1.

Danke für eure Antworten

Answer 1

b_n=(-1)ⁿ . Meine Behauptung lautet, dass diese Folge divergiert. Dieses möchte ich gerne mit Epsilon nachweisen.

Angenommen es gäbe einen Grenzwert g, dann müsste für alle hinreichend großen n gelten

Für alle eps > 0 gilt

| (-1)ⁿ  - g |   < eps   da  (-1)ⁿ  immer abwechselnd 1 oder -1 ist, müsste für alle

hinreichend großen  n gelten   | 1-g| < eps und  | 1+g| < eps

also  | 1-g| +  | 1+g| < 2eps

und wegen der Dreiecksungleichung

| 1-g +   1+g| < 2eps

<=>     2 < 2eps

<=>   1 < eps .

Dies gilt offenbar nicht für alle eps>0 (Gegenbeispiel eps=0,5) .

q.e.d.