Epsilon-Beweis zur Konvergenz einer Folge

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Folge $$a_n=1+\frac{4}{n^2}$$ gegen 1 konvergiert.

Problem/Ansatz:

Zu beliebigem $$\epsilon>0$$ wähle $$N(\epsilon)=\frac{2}{\sqrt{\epsilon}}$$. Dann folgt für alle $$n>N(\epsilon)$$:

$$\left|1+\frac{4}{n^2}-1\right|=\frac{4}{n^2}<\frac{4}{(N(\epsilon))^2}=\frac{4}{(\frac{2}{\sqrt{\epsilon}})^2}=\epsilon$$

Für mein Verständnis wäre das korrekt (oder?). Meine Frage lautet nun jedoch, ob auch folgende Lösung korrekt wäre (auch wenn mir klar isr, dass die Abschätzung bei weitem nicht so gut ist und man wohl numerisch erstere Lösung wählen würde):

Zu beliebigem $$\epsilon>0$$ wähle $$N(\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}$$. Dann folgt für alle $$n>N(\epsilon)$$:

$$\left|1+\frac{4}{n^2}-1\right|=\frac{4}{n^2}<\frac{1}{n}<\frac{1}{N(\epsilon)}=\frac{1}{\frac{1}{\epsilon}}=\epsilon$$

Answer 1

Grundsätzlich reicht irgend ein Schwellenindex Allerdings hast Du die Abschätzung der 4 nicht berücksichtigt. Dumusst zusätzlich n>4 verlangen.

Comments

Auf welche Lösung beziehst du dich? Die Zweite? Aber es ist doch 4 stets größer als 1 oder übersehe ich da etwas?

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\( \frac{4}{1^2} > \frac{1}{1} \)

\( \frac{4}{2^2} > \frac{1}{2} \)

\( \frac{4}{3^2} > \frac{1}{3} \)

\( \frac{4}{4^2} = \frac{1}{4} \)

\( \frac{4}{5^2} < \frac{1}{5} \)

Begreifst du jetzt, was mit

Du musst zusätzlich n>4 verlangen.

gemeint ist?

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Danke, jetzt habe ich es gesehen ;) blöder Fehler. Dann müsste man natürlich zum Beispiel $$\frac{4}{\epsilon}$$ wählen und dann einfach den Schritt mit der Abschätzung der 4 weglassen (oder halt n>4 fordern).