Das Profil einer Böschung wird mit der Funktion y=wurzel aus x beschrieben .. wie geht man am besten vor?

Question

Ich weiß nicht genau wie man mit dieser Aufgabe am besten umgehen kann .. brauche paar tipps und danke im Voraus 

Aufgabe:

Das Profil einer Böschung wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f(x) = \( \sqrt{x} \) mit der Längeneinheit 5 m. An der Böschung soll eine Rampe so angelegt werden, so dass sie tangential in das Gelände übergeht.

a) Ermittle den Ansatzpunkt der Rampe in der Ebene. Berechne den Punkt, wo die Rampe in das ansteigende Gelände übergeht!

b) Berechne die Länge der Rampe!

Comments

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Answer 1

Hi,

Du kannst bspw die Tangenten an der Stelle x = 4 berechnen. Dafür brauchts die Ableitung

f(x) = √x

f'(x) = 1/(2√x)

Nun x = 4 sowohl in f(x) wie auch in f'(x) einsetzen:

f(4) = √4 = 2

f'(4) = 1/(2√4) = 1/4

Wir haben also die Steigung f'(4) = 1/4 und gehen durch den Punkt P(4|2).

Damit eine Gerade aufstellen:

y = 1/4*4 + c = 2

c = 1

--> g(x) = 1/4*x + 1

Für g(x) = 0 = 1/4*x+1

-1 = 1/4*x

x = -4

haben wir den Ansatzpunkt der Rampe.

b) Länge der Rampe von -4 bis 4, bei einer Höhe von 2. Pythagoras:

8^2 + 2^2 = b^2

64+4 = b^2

b = √68

Das Ergebnis noch mit 5 multiplizieren, da eine Einheit ja 5 m entspricht -> √68*5m ≈ 41,23 m

Alles klar?

Grüße

Comments

Und wo beginnt das Gelände dann? Das fehlt bei a)

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Das fehlt da nicht. Tangente = Rampenoberfläche. Und Tangente am Graphen -> Berührpunkt. Dort also fängt das Gelände an.

Answer 2

Die Aufgabe hat keine eindeutige Lösung
da es unendlich viele Tangenten gibt,.

Schon gar geht es zunächst den Punkt ( 4 | 2 )
aus der Skizze abzuschätzen, dann die Tangente zu berechnen und ihn dann wie in der Aufgabe gefordert
wieder " zu berechnen ".