Matrizen, det(A) ungleich 0

Question

Wenn gilt, dass die det(A) ungleich 0 ist, glit dann, dass A invertierbar ist, dass die Vektoren linear unabhängig sind und dass sie eine Basis bilden?

Gilt das für alle Matrizen?

Answer 1

Ja. Das gilt für alle Matrizen. Zumindest für quadratische. Aber auf anderen Matrizen ist die Determinante ja auch nicht definiert.

Comments

Wenn man weiß, dass die Vektoren linear unabhängig sind, weiß man auch, dass sie eine Basis des R³ sind?

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Wenn du eine 3x3 Matrix hast dann ja.

n linear unabhängige Vektoren spannen immer einen n-Dimensionalen Raum auf.

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Wenn man weiß, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem von V bilden, dann weiß man doch sofort, dass die Vektoren eine Basis von V bilden oder?

Die lineare Unabhängigkeit muss nicht gezeigt werden oder?

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n Vektoren des ℝⁿ , die ein EZS bilden, sind immer auch linear unabhängig und umgekehrt.

Sie stellen also eine Basis dar.

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Nur wenn man aber Vektoren hat, also das würde nicht für Polynome oder so gelten?

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In jedem Vektorraum, der die endliche Dimension n hat, bilden n linear unabhängige Elemente    ( = Vektoren! :-)) immer auch ein EZS und damit eine Basis.

So ist das z.B. auch in den VR der Polynome vom Grad ≤ m ....