Beweisen, dass B eine geordnete Basis ist, wenn det ungleich 0

Question

Es seien \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}^{n} \) Vekoren im \( \mathbb{R}^{n} \). Beweisen Sie, dass \( \mathcal{B}:=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \) genau dann eine geordnete Basis des \( \mathbb{R}^{n} \) ist, wenn \( \operatorname{det}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \neq 0 \) gilt.

Also ich kenne die Regeln von Determinanten und weiß, was alles gilt, wenn det ungleich 0 ist (Beispielsweise lineare unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis, Inverse Matrix etc.), aber ich weiß nicht, wie ich diesen Beweis aufschreiben soll, um das zu zeigen. Soll ich dann einfach eine beliebige Matrix nehmen und deren Determinante ausrechnen? Und falls sie ungleich 0 ist, die Basenvektoren aufschreiben?

Wäre über Hilfe sehr dankbar

Answer 1

Hallo

wenn ihr schon bewiesen habt dass bei det≠0 die Zeilen linear unabhängig sind reicht es, sich darauf zu beziehen, sonst musst du noch zeigen das man das durch Umformung der det. zeigen kann

Gruß lul