Aloha :)
Die Determinante der transponierten Matrix \(B^T\) ist gleich der Determinante von \(B\):$$\operatorname{det}(B^T)=\operatorname{det}(B)$$Du kannst aus jeder Zeile der Determinante einen Faktor vor die Determinante ziehen. Da wir hier \(n\) Zeilen haben, bedeutet das:$$\operatorname{det}\begin{pmatrix}-b_{11} & -b_{12} & \cdots & -b_{1n}\\-b_{21} & -b_{22} & \cdots & -b_{2n}\\-b_{31} & -b_{32} & \cdots & -b_{3n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\-b_{n1} & -b_{n2} & \cdots & -b_{nn}\end{pmatrix}=(-1)^n\operatorname{det}\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\b_{31} & b_{33} & \cdots & b_{3n}\\\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}\end{pmatrix}$$Das heißt also:$$\operatorname{det}(-B)=(-1)^n\cdot\operatorname{det}(B)$$
Weil hier \(B^T=-B\) vorgegeben ist, gilt:$$\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(B^T)=\operatorname{det}(-B)=(-1)^n\operatorname{det}(B)$$
Für ungerade \(n\) ist \((-1)^n=(-1)\), sodass:$$\operatorname{det}(B)=-\operatorname{det}(B)\implies2\operatorname{det}(B)=0\implies\operatorname{det}(B)=0\quad\checkmark$$
Für gerade \(n\) ist \((-1)^n=1\), sodass lediglich \(\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(B)\) folgt. Das wussten wir aber schon voher. Insbesondere können wir daraus nicht folgern, dass \(\operatorname{det}(B)=0\) gilt.
