Eine 2×2-Matrix A ist genau dann invertierbar wenn det(A)=0 gilt

Question

Servus!
Ich scheitere an einer Hälfte des Beweises für folgenden Satz:

Für eine (reelle oder komplexe) 2×2-Matrix \(A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) wird die Zahl $$det(A) := ad − bc$$ die Determinante von A genannt. Zeigen Sie: Eine 2×2-Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar wenn \(det(A)\neq0\) gilt.

Ich konnte den Beweis bereits in eine Richtung führen, scheitere aber an einer Beweisidee für die andere.

\(\exists A^{-1}:A^{-1}\cdot A=I_m\)
\(\Rightarrow det(I_m)=1=det(A \cdot A^{-1})=det(A) \cdot det(A^{-1})\)
\(\Rightarrow det(A) \neq 0\)

Answer 1

Wenn

        \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot A' = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

sein soll, dann muss

        \(A' = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)

sein. Das kann man zeigen indem man die Gleichung

      \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

in ein Gleichungssystem umwandelt und dann nach \(a',b', c', d'\) löst.

Die Matrix

        \(\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)

ist aber nur dann wohldefiniert, wenn \(ad-bc\neq 0\) ist.

Answer 2

[a, b, 1, 0]
[c, d, 0, 1]

a*II - c*I

[0, a·d - b·c, -c, a]

Nun darf die Koeffizientenmatrix ja keine Nullzeile haben, weil es dann keine Lösung der erweiterten Koeffizientenmatrix gibt.

Also muss gelten a·d - b·c ≠ 0

Answer 3

Wenn det(A)≠0 , dann existiert ( weil Nenner nicht 0) die Matrix $$B=\frac{1}{ac-bd}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$.

Wenn man diese von rechts oder von links mit A multipliziert,

gibt es die Einheitsmatrix, also ist B die inverse von A,

somit A invertierbar.