Zeigen Sie, dass eine Matrix A∈ℝnxn genau dann invertierter ist, wenn det(A^tA) 0 ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass eine Matrix A∈ℝnxn genau dann invertierter ist, wenn det(A^tA)>0 ist.

Answer 1

$$\text{Es gilt }det(A)=det(A^T) \text{, und } det(A\cdot A^T)=det(A)\cdot det(A^T) = det(A)^2 > 0\\ \text{ nach Voraussetzung und Eigenschaften der Determinante.}$$

$$\text{Genau dann folgt } det(A)>0 \vee det(A)<0 \Leftrightarrow det(A)\neq 0 \text{ und die Invertierbarkeit von A.}$$

Comments

Gilt dies wegen dem Determinatenmultiplikationssatzes ?

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Determinantenmultiplikationssatz / Multiplikativität der Determinante / Determinante als multiplikative Abbildung / etc.

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Dankeschön :)