Zeigen, dass für U := {A ∈ M(n×n, Q) | tA = −A} des Q-Vektorraums M(n × n, Q) gilt dim U = (n(n−1)/2 .

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass für den Untervektorraum

U := {A ∈ M(n×n, Q) | A^t =−A}

des Q-Vektorraums M(n × n, Q) gilt dim U =(n(n−1))÷2.

Problem/Ansatz:

Leider komme ich bei der Aufgabe gar nicht weiter...

Würde mich sehr über Hilfe freuen.

LG

Answer 1

Für die Einträge der Matrix A ∈ U gilt a_ij = -a_ji. Insbesondere sind alle Diagonalelemente gleich Null. Frei wählbar sind z.B. alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonalen.
Das sind nach Gauß 0 + 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = n(n - 1)/2 Einträge. Z.B. ist $$\mathcal B=\left\lbrace\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}\right\rbrace$$eine Basis von U für n = 3.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!