Integral: Runde Brosche aus Gold

Question

Aufgabe:

Ein Goldschmied möchte für seine Schmuckkollektion eine neue kreisförmige Brosche entwickeln.

a)

Die Form der Trennlinie zwischen den beiden Teilen der
Brosche entspricht der in der Abbildung 1 dargestellten
Funktion f(x). Die Achseneinheiten entsprechen jeweils 1 cm.
Bestimmen Sie die Funktion 3. Grades f(x), die den Verlauf der
in der Graphik dargestellten Trennlinie beschreibt.
Dokumentieren Sie auch Ihren Ansatz und Lösungsweg!

b) Der in der Abbildung 1 markierte Teil der Brosche soll mit einer Schichtdicke von 0,001cm
vergoldet werden. 1 cm³ der verwendeten Legierung hat eine Masse von 12 g und kann vom
Goldschmied aktuell zu einem Preis von 35 € pro g eingekauft werden. Mit welchem Wert
gehen die Materialkosten für die Legierung in die Herstellkosten einer Brosche ein?

a)

Nullstellen: (-3|0) (0|0) (3|0)

Hochpunkt und Tiefpunkt kann ich nicht richtig ablesen.

Kann mir hier jemand witerhelfen?

b)

weis nicht so richtig, was ich hier machen soll

Also ich weiß, das ich hier f(x) haben/bestimmen muss dies dann Aufleiten. Integrale müsste 0 und 0,001 sein. Dann einsetzen und sehen wie groß es ist damit dann die Herstellkosten ausrechen. Aber hab kein Plan wie ich f(x) raus bekomme.

Stimmt es so?

!!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Integral: Runde Brosche aus Gold Teil 2

Stichworte: integral

Aufgabe:

Ein Goldschmied möchte für seine Schmuckkollektion eine neue kreisförmige Brosche entwickeln.

a)
Die Form der Trennlinie zwischen den beiden Teilen der
Brosche entspricht der in der Abbildung 1 dargestellten
Funktion f(x). Die Achseneinheiten entsprechen jeweils 1 cm.
Bestimmen Sie die Funktion 3. Grades f(x), die den Verlauf der
in der Graphik dargestellten Trennlinie beschreibt.
Dokumentieren Sie auch Ihren Ansatz und Lösungsweg!

a)

f(x)=0,125x⁴ - 1,125x² (Ergebnis durch LGS)

c)
Bei einer zweiten Variante der Brosche wird zusätzlich zu der
durch f beschriebenen Trennlinie eine zweite Linie angebracht,
die durch die Funktion () = ∙ (), ≥ 1 beschrieben wird.
Bestimmen Sie den Faktor a so, dass der Flächeninhalt der in
Abbildung 2 markierten Fläche zwischen den beiden Trennlinien
1,62 cm² beträgt.

c)

Versuch zu 99,99% falsch (Angaben ohne Gewähr)
1,62 = \( \int\limits_{0}^{3} \) a∙ (0,125x⁴ - 1,125x²)

Ich bin hier unsicher, muss ich hier überhaupt die Fläche/Integral bestimmen

1,62 =  a∙ (0,125x⁴ - 1,125x²)

d)

Der Abbau von Gold steht wegen der damit verbundenen Umweltbelastung zunehmend in
der Kritik. Der Goldschmied erhöht daher die Nutzung von Altgold für seine
Schmuckproduktion. Als er den Betrieb vor 10 Jahren übernommen hat, wurden pro Jahr
300 g Reingold aus Minenproduktion verbraucht. Seither wurde dieser Wert stetig um 10 %
jährlich gesenkt. Wie viel Gold aus Minenproduktion wird aktuell für die Produktion in der
Goldschmiede verbraucht? Wie viel Gold aus Minenproduktion wird die Goldschmiede
insgesamt benötigen, wenn der Betrieb ewig weiter betrieben wird und die Reduktion des
Verbrauches in gleicher Weise weitergeführt wird?

Das ist doch Geometrische Folge und n---> ∞?

a) an= a₁*q^n-1 =300*0,9⁹ = 116,23
b) 1/1-q = 1/1-0,9=10

Was hab ich falsch gemacht?

!!

Answer 1

a)

Ansatz
f(x) = a·x·(x^2 - 3^2)

Bedingung
f(1) = -1 → a = 1/8 = 0.125

Lösung
f(x) = 0.125·x·(x^2 - 3^2)

Comments

Ich komme auf Materialkosten von ca. 4 €. Wenn du etwas grundsätzlich anderes heraus hast melde dich nochmal.

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Sry, aber versteh das so nicht

wie kommt man auf

f(x)=a*x*(x²-3²)??

die -3 ist wahrscheinlich die Nullstelle aber den rest versteh ich nicht

Bedingung
f(-1) = -1 → a = -1/8 = -0.125

Ich sehe das f(-1) = -1 gegeben ist aber wie kommt man von dem zu  a = -1/8

Danke für deine Hilfe!!

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Sorry. Da waren noch Vorzeichenfehler drin. Ich habe es verbessert

Wo sind allgemein die Nullstellen von f(x) = a·x·(x^2 - 3^2) und wie bestimmst du die?

Dabei ist (x^2 - 3^2) = (x + 3)(x - 3) gemäß der 3. binomischen Formel.

Es gilt f(1) = -1

Schreib das doch dann mal als Gleichung auf und löse es nach a auf.

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Sry wirklich, kann sein das ich dumm bin aber ich versehe das nicht

Ich sehe bloß das

f(1) = -1
Das da 3 Nullstellen sind und zwar bei x=0 x=3 x=-3

Ich versteh nicht wie ihr von da, nach f(x) = a·x·(x² - 3²) oder f(x)=a*x*(x-3)*(x+3)  kommt

Ich versteh noch nicht mal wo da das a herkommt

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f(x) = a*x*(x-3)*(x+3)

nennt sich die faktorisierte Form oder auch die Nullstellenform einer Funktion, weil man da die Nullstellen direkt ablesen kann.

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt Null wenn mind. einer der Faktoren Null wird. Damit können getrennt alle Faktoren = 0 gesetzt werden.

f(x) = a·x·(x² - 3²) = 0

a ist sicher ungleich Null

x = 0 → Eine Nullstelle bei 0

x² - 3² = 0
x² = 3²
x = ±3 → Nullstellen bei -3 und +3

a ist ein beliebiger Streckfaktor in y-Richtung. Den muss man nachher anpassen, damit die Funktion durch den Punkt (1 | -1) geht. Ansonsten geht sie unglücklicherweise nur durch (1 | -8).

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Also ich hab jetzt mal in der zwischen Zeit ein LGS auf gesellt

(-3|0) (0|0) (3|0) (-1|1)

I - 27a + 9 b - 3c = 0
II 27a + 9b + 3 c = 0
III - a + b - c = 1

I a = 0.125
II b = 0
III c = - 1.125

f(x)=0,125x³-1,125x

Aber das ist falsch wenn ich es richtig verstehe?

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Aber das ist falsch wenn ich es richtig verstehe?

Und was ist daran deiner Meinung nach falsch?

~plot~ sqrt(3^2 - x^2);-sqrt(3^2 - x^2);0.125x^3-1.125x ~plot~

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Also kann man das auch so machen?

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Ja. Es ist halt nur schwieriger es so zu machen. Spricht aber nichts dagegen.

Die Bedingung war  (1|-1) statt  (-1|1)

Das spielt hier aber keinen Unterschied.

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\( \int\limits_{0}^{3} \) 0,125x- 1,125x

[1/32x⁴-9/16x²]

Hab dann -2 17/32 raus

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Hab dann -2 17/32 raus

Das ist korrekt.

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Die 2 17/32 sind cm² oder?

Wenn ja müsste ich jetzt doch  2 17/32 *12 * 35 *0,001 = 1,063 ??

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Mit 2 17/32 hast du gerade mal die graue Fläche im 4. Quadranten berechnet. Dann kommt zunächst noch der Viertelkreis im 1. Quadranten dazu.

Dann kannst du *0.001 * 12 * 35 rechnen.

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Wie also muss ich 2 17/32 * 1/4 + 2 17/32?

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2 17/32 * 1/4 + 2 17/32

Nein. Man sollte schon die Flächenformel vom Kreis kennen

A = pi * r^2 oder vom Viertelkreis

A = 1/4 * pi * r^2

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1/4*3,14*(2 17/36)²=4,8

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ist 2 17/36 der Radius vom Kreis?

Wenn ja ist es richtig.

Aber ich würde das eher bezweifeln.

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Stimmt ist 3 oder?

Also 1/4*3,14*3²=7,065

Was mach ich dann damit ich stehe aufn schlauch

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Einzelflächen zu einer Gesamtfläche Addieren.

Dann das Volumen bestimmen

Dann die Masse bestimmen und als letzten

den Preis bestimmen.

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Danke hab ca 4 euro raus

Answer 2

Hallo

f(x)=a*x*(x-3)*(x+3) und a bestimmen da man f(1)=-1 kennt.

Fläche = 1/4 Kreis + Betrag des Integrals von 0 bis 3.

Fläche*Dicke= Volumen, daraus die Masse in g, einfacher Dreisatz,  daraus die Kosten.

Gruß lul

Comments

f(x)=a*x*(x-3)*(x+3)

Also wieso a*x*(x-3)*(x+3) versteh das nicht wie man darauf kommt

und wie bestimmt man aus  f(1)=-1  a?

Das nächste wieso 1/4 des Kreises?

Answer 3

Da ist doch noch der Punkt (1; -1)

Damit hast du alle 4 Gleichungen.

b) Berechne die Fläche. (Viertelkreis + gekrümmtes Stück darunter)

Answer 4

War die Funktion bei a) nicht

f(x) = 1/8·x·(x^2 - 3^2) = 0.125·x^3 - 1.125·x

Du musst lernen sorgfältiger zu arbeiten.