Zeigen Sie: v und w=(-1,2) bilden eine (geordnete) Basis \mathfrak{B}=(v, w) für V .

Question

Aufgabe:

Sei \( V=\mathbb{R}^{2} \) der reelle Standardvektrorraum mit der Standardbasis \( \mathfrak{E}=\left(e_{1}, e_{2}\right) \), für \( e_{1}=(1,0) \) und \( e_{2}=(0,1) \). Es bezeichne \( \sigma: V \rightarrow V \) die Spiegelung an der Geraden, die durch den Ursprung \( (0,0) \) und durch den Punkt \( v=(2,1) \) verläuft.
(a) Zeigen Sie: \( v \) und \( w=(-1,2) \) bilden eine (geordnete) Basis \( \mathfrak{B}=(v, w) \) für \( V \).
(b) Geben Sie die Koordinatenmatrix \( [\sigma]_{\mathfrak{B}} \) bezüglich der Basis \( \mathfrak{B} \) an, mit einer knappen Begründung.
(c) Bestimmen Sie die Koordinatenmatrix \( [\sigma]_{\mathfrak{E}} \) bezüglich der Standardbasis \( \mathfrak{E} \).

Hallo, kann mir jemand bei der (b) & (c) helfen? Was genau ist mit koordinatenmatrix gemeint? Ich schätze mal nicht, dass bei (b) einfach

2 -1

0 2

kommt oder?

Answer 1

Zu b.: Es ist \(\sigma(v)=1\cdot v+0\cdot w\) und \(\sigma(w)=0\cdot v+(-1)\cdot w\).

Daraus kannst du die Darstellungsmatrix direkt

ablesen: \(diag(1,-1)\).

Comments

Könntest du mir erklären, wie du vorgegangen bist, bzw. wie du auf die Werte kamst?

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\(v\) liegt in der Spiegelungsachse, bleibt also unter

\(\sigma\) fix. \(w\) steht senkrecht auf der Spiegelungsachse,

wird also "umgedreht".

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Ah ok ich verstehe, dann ist bei (b) die koordinatenmatrix bloß di(1, -1)?

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Ja. Bei c)  musst du \(e_1,e_2\) durch \(v\) und \(w\) ausdrücken,

Beispiel: \(e_1=\frac{1}{3}(2v-w)\),

also \(\sigma(e_1)=\frac{1}{3}(2\sigma(v)-\sigma(w))=\)

\(= \frac{1}{3}((4,1)+(-1,2))=(1,1)=1\cdot e_1+1\cdot e_2\).

Die erste Spalte der Matrix lautet \((1,1)^T\).

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Alles klar danke, aber ist dein Beispiel korrekt?  e_1 = 1/3(2v - w) wenn ich das mal ausrechne, komme ich auf was anderes

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Du hast Recht. Da habe ich mich verrechnet.

Richtig ist \(e_1=\frac{1}{5}(2v-w)\) (ohne Gewähr ;-))

Dadurch wird \(\sigma(e_1)=(3/5, 4/5)\).

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Um auf die Lösungen zu kommen, kann man ja einfach mittels Gauß verfahren die Aufgabe lösen oder? Also einfach das LGS lösen mittels ZSF

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Ja. Mit Gauss ist eine gute Idee.

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Ok perfekt, danke dir für die Hilfe.