Zeigen Sie: eine geordnete Basis von V

Question

Aufgabe:

Es sei V endlich-dimensional und B = (b1, . . . , bn) eine geordnete Basis von V . Zeigen Sie:

a)

Sind Vektoren w1, . . . , wn ∈ W gegeben, dann gibt es eine eindeutig bestimmte K-lineare
Abbildung f : V → W mit f(bi) = wi
für alle i = 1, . . . , n.


b)

Die eindeutige Abbildung f aus (a) ist genau dann ein Isomorphismus, wenn {w1, . . . , wn}
eine Basis von W ist.

Problem/Ansatz:

a) ist das nicht trivial? mir fällt nicht mal ein wie ich es beweisen soll

b) also {w1, . . . , wn} die Basis von W ist, wieso ist dann die Gruppe injektiv?

Answer 1

Sei f eine K-lineare
Abbildung f : V → W mit f(bi) = wi für alle i = 1, . . . , n.

Da die bi eine Basis bilden, gibt es für jedes v∈V

genau ein n-Tupel (a₁,...,a_n) mit v=\(  \sum \limits_{i=1}^n a_iv_i \).

Und dann ist wegen der Linearität

f(v)=\(  \sum \limits_{i=1}^n a_if(v_i) =  \sum \limits_{i=1}^n a_iw_i \).

Somit f(v) durch die w_i eindeutig bestimmt.

b)   Seien u,v ∈ V und f(u)=f(v) dann ist analog zu a)  mit

v=\(  \sum \limits_{i=1}^n a_iv_i \) und u=\(  \sum \limits_{i=1}^n b_iv_i \).

\(  \sum \limits_{i=1}^n b_iw_i =  \sum \limits_{i=1}^n a_iw_i \).

<=>    \(  \sum \limits_{i=1}^n (b_i-a_i)w_i = 0 \).

Also wegen der Eindeutigkeit der Darstellung des 0-Vektors

bzw. der lin. Unabh. der w_i

für alle i         a_i = b_i   also  u=v.

Somit f injektiv.     q.e.d