Geordnete Menge:
Zeige, dass \(\subseteq\) eine Halbordnung auf \(P(M)\) für eine beliebige Menge \(M\) ist.
Das enthält:
1 - Refl.) Zeige, dass für alle \(A\in P(M)\) gilt \(A\subseteq A\).
2 - Antisym.) Zeige, dass für alle \(A,B\in P(M)\) mit \(A\subseteq B\) und \(B\subseteq A\) auch \(A=B\) gilt.
3 - Trans.) Zeige, dass für beliebige \(A,B,C\in P(M)\) mit \(A\subseteq B\) und \(B\subseteq C\) auch \(A\subseteq C\) gilt.
Nicht total geordnete Menge:
Nun ist \(\subseteq\) genau dann total auf \(P(M)\), wenn \(|M|\leq 1\).
Für \(|M|=0\) folgt \(M=\varnothing\) und \(P(M)=\{\varnothing\}\).
Offensichtlich ist \(\varnothing \subseteq \varnothing\), also \(\subseteq\) total auf \(P(M)\).
Für \(|M|=1\) folgt \(M=\{x\}\) und \(P(M)=\{\varnothing, \{x\}\}\) für ein Element \(x\).
Dann gilt offenbar \(\varnothing \subseteq \varnothing\), \(\varnothing \subseteq \{x\}\) und \(\{x\}\subseteq \{x\}\), also auch hier \(\subseteq\) total.
Für \(|M|>1\) gibt es Elemente \(x,y\in M\) (d.h. insb. \(\{x\},\{y\}\in P(M)\)) mit \(x\neq y\).
Dann ist \(\{x\}\nsubseteq \{y\}\) und \(\{y\}\nsubseteq \{x\}\), also \(\subseteq\) nicht total auf \(P(M)\).
