Wie schon in meinem Kommentar gesagt, sitze ich gerade an der gleichen Aufgabe.
Was ich mir bisher zu (a) überlegt habe: (Keine Ahnung ob das richtig ist :p)
"≤" ist eine Ordnung, also auch Transitiv.
Sei y∈M beliebig, aber fest.
Sei auch an∈M mit n∈ℕ.
Es gelte a0 ≤ y. Dann sagen wir an+1 ≤ an (zu beginn ist n=0), wobei bei jedem Schritt n um 1 größer wird, bis es kein Element mehr gibt, was wir für an+1 einsetzen können. Wegen der Transitivität gilt dadurch auch an ≤ y. Dann ist an das minimale Element von y.
Aber ich weiß nicht, ob das als beweis gelten würde...
Was ich mir bisher zu (b) überlegt habe:
M ist endlich.
Def. m minimal in M:
$$∀x\in M:x≤m⇒x=m$$
Def. m kleinstes Element / Minimum in M:
$$∀x\in M:m≤x$$
Sei x das einzige minimale Element in M.
Daraus folgt: Es gibt kein anderes Element y∈M mit ∀y∈M: y≤m ⇒ x=m
Das heißt in der Definition von "x minimales Element in M" ist x=m nur durch x=x erfüllt. Und weil x ein minimales Element ist, müssen alle anderen y∈M größer sein (d.h. ∀y∈M:x≤y), was genau die Definition vom kleinsten Element in M ist.
MfG,
Doug.