Aufgabe:
Sei (M, ≤) eine total geordnete Menge. Beweisen Sie folgende Aussage:
Ein Element ist genau dann kleinstes Element von M, wenn es minimal in M ist.
Problem/Ansatz:
zu Beweisen wäre also meiner Meinung nach folgende Aussage:
m ∈ M ist kleinstes Element ⇔ m ∈ M ist minimal
Formal würde ich es so aufschreiben:
∀x∈M : (m ≤ x) ⇔ ∀x∈M : ( ¬( x ≤ m))
zusätzlich gilt durch die totale Ordnung:
∀x,m∈M : ( x ≤ m ∨ m ≤ x)
Jetzt muss ich beide Richtungen zeigen:
"⇒"
∀x∈M : (m ≤ x) ⇒ ∀x∈M : ( ¬( x ≤ m))
Sei x∈M beliebig und m ≤ x ,
dann ist ¬( x ≤ m)
"⇐"
∀x∈M : ( ¬( x ≤ m)) ⇒ ∀x∈M : (m ≤ x)
Sei x∈M beliebig und ¬( x ≤ m),
dann ist m ≤ x
Das wäre meine Lösung aber ich glaube es ist nicht ganz vollständig. Mir fehlt doch noch die Anwendung der Totalität. Oder muss ich noch jeweils zwei Fälle betrachten: x ≤ m oder m ≤ x
