Produktformeln und Kreisfunktion. ∏(_(k=1) ^8) cis(k*(π/8))

Question

Ich brauche Hilfe beim Lösen folgendes Produktes

∏(_(k=1) ^8) cis(k*(π/8))

Answer 1

cis(k*(π/8))  sind alles komplexe Zahlen mit Betrag 1

und Winkel mit der pos. x-Achse ist

pi/8    2pi/8     3pi/8   etc bis   8pi/8=pi

Beim Multiplizieren komplexer Zahlen mit Betrag

1 werden eifach nur die Winkel addiert. Das Ergebnis hat also

den Winkel  (1+2+3+4+5+6+7+8) *pi/8

           = 36pi/8  = 4,5 pi   bzw. pi/2, da ja jeweils nach 2pi

wieder 1 erreicht ist.  Also ist das Ergebnis des Produktes

           cis( pi/2)

Comments

OH!
Cis gibt's ja wirklich :D https://en.wikipedia.org/wiki/Cis_(mathematics)

Naja, ich lasse die Antwort erstmal stehen, vielleicht hat sich der/die FS ja doch vertippt.

Answer 2

Hallo Gast ie1877 ! :-)

Vom Musikunterricht her kenne ich cis, aber vielleicht meinst Du cos(Kosinusfunktion) und dann gilt:

∏(k=1 bis k=8) cos(k·(π/8))
= cos(1·(π/8))·cos(2·(π/8))·cos(3·(π/8))·cos(4·(π/8))·cos(5·(π/8))·cos(6·(π/8))·cos(7·(π/8))·cos(8·(π/8))
= 0

https://www.wolframalpha.com/input/?i=product+cos(k*(%CF%80%2F8)),+k%3D1..8

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos(1%C2%B7(%CF%80%2F8))%C2%B7cos(2%C2%B7(%CF%80%2F8))%C2%B7cos(3%C2%B7(%CF%80%2F8))%C2%B7cos(4%C2%B7(%CF%80%2F8))%C2%B7cos(5%C2%B7(%CF%80%2F8))%C2%B7cos(6%C2%B7(%CF%80%2F8))%C2%B7cos(7%C2%B7(%CF%80%2F8))%C2%B7cos(8%C2%B7(%CF%80%2F8))

Beste Grüße
gorgar

Comments

P.S. Bei k=4 kann man bereits abbrechen, denn mit cos(4·(π/8)) = 0 ist das ganze Produkt gleich Null.