Definition Varianz, Standardabweichung, Erwartungswert

Question

Nabend,

ich bin leider schon immer schlecht im Erklären gewesen, deshalb frage ich hier mal nach den Definitionen nach. Auf anderen Seiten verstehe ich einfach mal so gar nichts... Ich könnte maximal etwas zum Erwartungswert sagen: Der Durchschnitsswert aller Ergebnisse eines Versuch - keine Ahnung, ich bin da echt aufgeschmissen.
Um in der Arbeit nicht wieder endlos Punkte zu verlieren, bitte ich euch, mir eine gute Definition zu nennen (egal ob eure oder von einer Webseite). Ich könnte zwar von einer Webseite die Definition einfach auswendig lernen, aber da weiß ich nicht, ob alles enthalten ist, da die Definition je nach Webseite variiert - Die Definition muss leider auf Oberstufen-Niveau sein..
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Answer 1

Gegeben ist eine Zufallsgröße X, die die Ausprägungen x₁ , x₂, ..., x_n annehmen kann.

Definition (Erwartungswert). Der Erwartungswert E(X) ist P(X=x₁)·x₁+ P(X=x₂)·x₂ + ... + P(X=x_n)·x_n. Mit anderen Worten, der Erwartungswert ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der Ausprägungen.

Beispiel. In einer Urne befinden sich eine rote, zwei blaue und drei grüne Kugeln . Es wird ein mal gezogen. Zieht man eine rote, dann gewinnt man 12€, zieht man eine blaue, dann gewinnt man 3€, zieht man eine grüne, dann verliert man 8€. Die Zufallsgröße X ist der Gewinn in einem solchen Spiel.

Die Zufallsgröße X kann die Ausprägungen 12€, 3€ und -8€ annehmen. Laut obiger Definition ist also

        E(X) = 12·P(X=12) + 3·P(X=3) + (-8)·P(X=-8).

P(X=12) ist die Wahrscheinlichkeit, 12€ zu gewinnen. 12€ gewinnt man, wenn man eine rote Kugel zieht. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 1/6. Also ist P(X=12) = 1/6. Auf ähnliche Weise kommt man zu P(X=3) = 1/3 und P(X=-8) = 1/2. Also ist

        E(X) = 12·1/6 + 3·1/3 + (-8)·1/2 = -1.

Definition (Varianz). Die Varianz σ² ist P(X=x₁)·(x₁-E(X))²+ P(X=x₂)·(x₂-E(X))² + ... + P(X=x_n)·(x_n-E(X))². Mit anderen Worten, die Varianz ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert.

Beispiel. Obiges Urnenspiel hat eine Varianz von

        σ² = (12 - (-1))²·P(X=12) + (3 - (-1))²·P(X=3) + (-8 - (-1))·P(X=-8)
             = 169·1/6 + 16·1/3 + 81·1/2
             = 74.

Definition (Standardabweichung). Die Standardabweichung σ ist die Wurzel der Varianz.

Beispiel. Obiges Urnenspiel hat eine Standardabweichung von σ = √74 ≈ 8,60.

Comments

Vielen Dank für Deine Antwort! Leider ist das nicht ganz, was ich wissen wollte.

Wir nehmen einfach an, dass E(X)= 5, V(X)=2 und σ=1 sei.

Nun bekommen wir folgende Fragen gestellt:

Was sagt der Erwartungswert 5 aus?

Was sagt die Varianz 2 aus?

Was sagt die Standardabweichung 1 aus?

Gibt es eine  allgemeingültige Antwort für je eine Frage?

Z.B: Der Erwartungswert 5 sagt aus, dass ...

Ich weiß, dass die Antwort vom Kontext abhängt, aber kann man da Pi mal Daumen eine allgemeintgültige Antwort formulieren, die nur leicht abgeändert werden muss?

Vielleicht kann man ja deine Formulierung benutzten: Der Erwartungswert (5) ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der Ausprägungen. - oder ist das doch nicht so gut?

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V(X)=2 und σ=1

Da die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz ist, passen hier die Varianz und die Standardabweichung nicht zusammen.

Ein Erwartungswert von 5 heißt, das die Zufallsgröße im Mittel den Wert 5 annimmt.

Die Standardabweichung und die Varianz sind Maße, um wie weit die Einzelnen Ausprägungen der Zufallsvariablen um den Erwartungswert streuen.

Mehr braucht man in der Regel allgemein nicht wissen.

Man sollte aber eventuell mehr Wissen, wenn es um spezielle Verteilungen geht. Z.B. um die Binomialverteilung und die Normalverteilung. Auch andere Verteilungen sollte man kennen und auch die Speziellen Formeln für den Erwartungswert und Varianz bzw. Standardabweichung.

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ja, die werte sind zusammenhanglos. inwiefern ändern sich die formulierungen, wenn es um die binomialverteilung geht? das wäre echt super, wenn du mir die formulierungen einmal nennen könntest

eine frage zum erwartungswert: wenn wir jetzt ein würfel-versuch hätten und der erwartungswert 4.5 wäre, wie würde dann die antwort lauten? ich meine 4.5 kann mam nicht würfeln. wäre die von dir genannte formulierung immer noch korrekt?

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Je die Formulierungen wären immer noch korrekt. Man kann z.b. einen Würfel mit dem Netz [2, 3, 4, 5, 6, 7] haben.

Wenn man im Mittel die Augenzahl 4.5 wirft heißt es nicht das man die Augenzahl 4.5 Werfen muss. Es bedeutet nur das wenn wir z.B. 100 mal würfeln und alle Augenzahlen addieren wir dann eine Summe von 100 * 4.5 = 450 erwarten werden.

Und auch dabei heißt es nicht dass dann die Summe tatsächlich 450 sein muss.

Bei der Binomialverteilung berechnen sich Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung wie folgt.

μ = E(X) = n * p

V(X) = n * p * q

σ = S(X) = √(n * p * q)

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ach so, nur die Formeln ändern sich. Die Formulierungen an sich bleibem dieselben, oder?

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Ja die Deutung des Erwartungswertes ist immer der gleiche.

Man kann den Erwartungswert auch immer über die allgemeine Formel berechnen. Macht nur keiner weil das bei der Binomialverteilung arg in Arbeit ausarten kann.

Ebenso bei anderen Verteilungen.

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> Leider ist das nicht ganz, was ich wissen wollte.

Das finde ich jetzt etwas überraschend. Du hast "nach den Definitionen" von "Varianz, Standardabweichung, Erwartungswert" gefragt. Ich habe die Definitionen geliefert. Inwiefern stimmt das dann nicht mit dem überein, was du wissen wolltest?

> Was sagt der Erwartungswert 5 aus?

Der Erwartungswert 5 sagt aus, dass das durchschnittliche Ergebnis des Experimentes bei hinreichend häufiger Wiederholung 5 ist, Ich könnte das noch etwas präzisieren, aber du hast uns die Beschränkung "Die Definition muss leider auf Oberstufen-Niveau sein" auferlegt.

Übrigens, was der Erwartungswert aussagt, ist nicht Teil der Definition. Was der Erwartungswert aussagt, ist der Grund, warum man zu einem Konzept der Vorstellungswelt ("durchschnittliches Ergebnis des Experimentes bei hinreichend häufiger Wiederholung") in eine Definition erfunden hat.

> Was sagt die Standardabweichung 1 aus?

Die meisten Ergebnisse sind wohl um weniger als 1 größer und um weniger als 1 kleiner als de Erwartungswert.

> inwiefern ändern sich die formulierungen, wenn es um die binomialverteilung geht

Die Definitionen ändern sich dadurch nicht. Lediglich die Berechnung wird einfacher. Das ist abzusehen, weil man mehr über die VErteilung weiß (nämlich dass es sich um eine Binomialvertelung handelt).

Andere Definitionen werden erst dann gebraucht, wenn man zu stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen übergeht, da greift aber wieder deine Beschränkung "Oberstufen-Niveau".

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hab mich missverständlich  ausgedrückt :D, ich danke dir/euch für eure Hilfe :)