absolute Konvergenz einer bestimmten Reihe zeigen

Question

Ich brauche Hilfe bei zeigen, dass die folgende Reihe absolut konvergiert

∑_(k=1) ^∞ (-1)^k*log(k)*k^{-5/4} 

Ich dachte, dass ich dass als Majorante eine harmonische Reihe mit einem Höheren Exponenten als 1 verwenden kann, aber für eine Majorante muss ja gelten , dass sie größer gleich sein muss.

Daher ist die Frage ob es auch noch eine andere Majorante gibt, oder ob ich bei dieser Reihe eher mit einem Anderen Kriterium verfahren sollte.

Comments

Merkregel: \(\log k\) waechst langsamer als jede noch so kleine positive Potenz von \(k\): $$\lim_{k\to\infty}\frac{\log k}{k^\alpha}=0\quad\text{fuer jedes $\alpha>0$}.$$ Damit laesst sich eine konvergente Majorante leicht finden, wenn man z.B. von $$\frac{\log k}{k^{1/8}}<1\quad\text{fuer grosse $k$}$$ ausgeht.

Answer 1

log(k)*k^-5/4

= log(k) / k^5/4

= log(k) / ( k *k^1/4  )

= log(k) / ( k *k^1/8 *k^1/8 )

= (1 /k^9/8 )  *  log(k) / k^1/8

und wie in dem Kommentar benannt, kannst du von

  log(k) / k^1/8  < 1 für große k ausgehen, also

hast du mit den Reihengliedern   (1 /k^9/8 )

eine konvergente Majorante.