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Ich muss den Konvergenzradius folgender Reihen bestimmen:

1) ∑_(k=1)^∞ (z-2)^{2k}/(k^3*4^k) Ich kann ja darauf schließen, dass c_k = 0 für k=2n+1 und c_k=1/(k^3*4^k) für k=2n

Nun will ich Cauchy-Hadamard verwenden für k=2n

Das wäre , dann doch 1/(lim sup (2n-te)√(1/((2n)^3*4^{2n})) ich habe aber Probleme diese zulösen. Falls es bis dahin richtig ist.


2) 2*∑_(k=1)^∞ 2k(2z)^{2k-1}  Hier habe ich, das Problem die Reihe so umzuformen, dass ich c_k ablesen kann.

EDIT: "Potenzradius" zu "Konvergenzradius" korrigiert.

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Was soll denn ein "Potenzradius" sein?

auch bekannt unter 'Konvergenzradius' - guckst Du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Eben nicht. Das Wort "Potenzradius" gibt es m. E. gar nicht, jedenfalls ist es zunächst einmal sinnlos.

2 Antworten

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Du meinst den Konvergenzradius.

Ich würde substituieren  (z-2)2 = y

Dann sind die Summanden  yk * k3*4k

Und dann  (k-te)√(k3*4k )

      =k3/k*4  und das hat den Grenzwert 4, also die

Reihe mit den y den Konvergenzradius 1/4 und deine Reihe also

den Konv.rad   1/2 .

Avatar von 289 k 🚀

der Term \(k^3 \cdot 4^k\) steht im Nenner.

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zu (1): es ist nicht \(k=2n\) sondern \(n=2k\). Erst damit nimmt die Potenzreihe

$$f(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(z-2)^{2k}}{k^3 \cdot 4^k}$$

die Form

$$f(z)=\sum_{n=2}^{\infty} c_n (z-2)^n$$

an. Wie Du schon richtig erkannt hast, ist dann \(c_n=0\) für \(n=2k-1\) und \(c_n=\frac{1}{k^3 \cdot 4^k}\) für \(n=2k\). Setze ich nun für \(k=n/2\) ein, erhalte ich für \(c_n\) (mit geradem \(n\))

$$c_n=\frac{1}{\left(\frac{n}{2}\right)^3 \cdot 4^{(n/2)}}=\frac{8}{n^3 \cdot 2^n}$$

nach Cauchy-Hadamard ist dann der Potenzradius

$$r=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \left(\frac{8}{n^3 \cdot 2^n} \right) ^{(1/n)}}=\frac{1}{\frac{1}{2}\limsup_{n \to \infty} \left( \frac{8^{(1/n)}}{n^{(3/n)}} \right) } = 2$$


zu (2): (hast Du hier vielleicht eine 2 zu viel?) $$f(z)=2 \sum_{k=1}^{\infty} 2k (2z)^{(2k-1)}=2 \sum_{k=1}^{\infty} 2k \cdot 2^{(2k-1)} \cdot z ^{(2k-1)}$$

setze hier \(2k-1=n\), dann ist \(k=\frac{1}{2}(n+1)\)

$$\space = 2 \sum_{n=1}^{\infty} (n+1) \cdot 2^n \cdot z^n \quad \Rightarrow c_n=(n+1) 2^n $$ gilt nur für ungerade \(n\); die \(c_n\) mit geraden \(n\) sind =0. Und der Potenz- bzw. Konvergenzradius ist hier demnach \(r=\frac{1}{2}\).

Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich einfach.

Gruß Werner

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