zu (1): es ist nicht \(k=2n\) sondern \(n=2k\). Erst damit nimmt die Potenzreihe
$$f(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(z-2)^{2k}}{k^3 \cdot 4^k}$$
die Form
$$f(z)=\sum_{n=2}^{\infty} c_n (z-2)^n$$
an. Wie Du schon richtig erkannt hast, ist dann \(c_n=0\) für \(n=2k-1\) und \(c_n=\frac{1}{k^3 \cdot 4^k}\) für \(n=2k\). Setze ich nun für \(k=n/2\) ein, erhalte ich für \(c_n\) (mit geradem \(n\))
$$c_n=\frac{1}{\left(\frac{n}{2}\right)^3 \cdot 4^{(n/2)}}=\frac{8}{n^3 \cdot 2^n}$$
nach Cauchy-Hadamard ist dann der Potenzradius
$$r=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \left(\frac{8}{n^3 \cdot 2^n} \right) ^{(1/n)}}=\frac{1}{\frac{1}{2}\limsup_{n \to \infty} \left( \frac{8^{(1/n)}}{n^{(3/n)}} \right) } = 2$$
zu (2): (hast Du hier vielleicht eine 2 zu viel?) $$f(z)=2 \sum_{k=1}^{\infty} 2k (2z)^{(2k-1)}=2 \sum_{k=1}^{\infty} 2k \cdot 2^{(2k-1)} \cdot z ^{(2k-1)}$$
setze hier \(2k-1=n\), dann ist \(k=\frac{1}{2}(n+1)\)
$$\space = 2 \sum_{n=1}^{\infty} (n+1) \cdot 2^n \cdot z^n \quad \Rightarrow c_n=(n+1) 2^n $$ gilt nur für ungerade \(n\); die \(c_n\) mit geraden \(n\) sind =0. Und der Potenz- bzw. Konvergenzradius ist hier demnach \(r=\frac{1}{2}\).
Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich einfach.
Gruß Werner
