> Stimmt, ich müsste ja beide Seiten mit dem HN erweitern.
Nein, musst du nicht. Erweitern ist eine Termumformung, das heißt der resultierende Term ist äquivalent zu dem urspünglichen Term.
Du hast aber nicht erweitert, du hast multipliziert. und wenn du die Linke Seite einer Gleichung mit einem Faktor multiplizierst, dann musst du aucch die rechte Seite der Gleichung mit diesem Faktor multiplizieren. Das ganze nennt sich dann Äquivalenzumforumung (falls der Faktor ≠ 0 ist).