Extremwertproblem (mithilfe einer ganzrationalen funktion bezüglich eines graphen)

Question

Skizzieren sie die Graphen der Funktion f und g mit f(x)=1/6x^2(x-4) und g(x)=-1/6x^3(x-4) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Die Gerade mit der Gleichung x=u und -1<u<2  schneidet den graphen von f im punkt p und den Graphen von g im Punkt q. Ermitteln sie alle relativen und absoluten Extrema der Länge der Strecke PQ im Intervall (-1/2).

ich verstehe überhaupt nicht was zu tuen ist, bitte einen ansatz mit ausführlicher Erklärung.

Update: Habe beide funktionen in den GTR eingetippt und habe 2 funktionen die sich schneiden...

Answer 1

f(x) = 1/6·x^2·(x - 4) = 1/6·x^3 - 2/3·x^2

g(x) = - 1/6·x^3·(x - 4) = 2/3·x^3 - 1/6·x^4

Der Vertikale Abstand bzw. die Länge ist der Betrag von d mit

d(x) = f(x) - g(x) = (1/6·x^3 - 2/3·x^2) - (2/3·x^3 - 1/6·x^4) = 1/6·x^4 - 1/2·x^3 - 2/3·x^2

d'(x) = 2/3·x^3 - 3/2·x^2 - 4/3·x = 0 --> x = 2.932 ∨ x = -0.682 ∨ x = 0

d(-1) = 0 (lokales und Randminimum)

d(-0.682) = -0.115 (lokales Maximum)

d(0) = 0 (lokales Minimum)

d(2) = -4 (Rand- und globales Maximum)

Comments

okay danke. erstmals eine frage, warum ist g(x)-f(x)=d(x)? weil das einfach so ist okay merke ich mir^^.

da du g(x)-f(x) in klammern stehen hast, hast du das mit der binomischen formel aufgelöst? und die restlichen schritte verstehe ich perfekt weil das was ist was mir keine probleme zu bereitet und die herren da unten haben sich auch viel mühe gegeben keine frage aber es hilft mir nicht irgendwelche variablen und lange wege vorzuzeigen wo ich schon längst den faden verloren habe...

---

Man könnte d(x) besser definieren als g(x) - f(x). Dann ist der Funktionswert gleich der Länge. Dann hat man keine Negativen Werte. Letztendlich ist das aber egal.

---

senkrechte ist also die differenz der beiden funktionen laut eurem ansatz?

---

Es geht um den senkrechten Abstand an einer Stelle x = u. Und damit um die Differenz der Funktionswerte an den Stellen x. Daher nehme ich f(x) - g(x).

Nur weil man etwas in Klammern schreibt heißt das nicht binomische Formel. In der Regel sieht es so aus, dass wenn man einen Platzhalter durch einen Term ersetzt, der Term geklammert werden muss, es sei denn man darf die Klammer weglassen. Man macht aber keinen Fehler wenn man auch Klammert obwohl es unnötig ist. Es ist nur ein Fehler nicht zu Klammern wenn Klammern sein müssen.

Bsp.

f(x) = x^2

f(-2) = (-2)^2 --> richtig

f(-2) = -2^2 --> falsch. wnen ich x ersetze muss das eingesetzte im Zweifel geklammert werden.

g(x) = x^2

g(2) = (2)^2 --> richtig

g(2) = 2^2 --< auch richtig, weil man hier die Klammer auch weglassen darf.

g(x) - f(x) = (...) - (...)

Genau so darf ich auch f(x) durch den Funktionsterm von f und g(x) durch den Funktionsterm von g ersetzen. Man macht keinen Fehler, wenn man es klammert.

---

" Nur weil man etwas in Klammern schreibt heißt das nicht binomische Formel."

habe ich auch nie behauptet, ich habe nur gesat ob du so die klammern aufgelöst hast aber egal

---

Die binomische Formel ist in der Regel das Quadrat einer Summe bzw. Differenz.

(a ± b)^2

Da in der Aufgabe aber keine Klammer zum Quadrat steht ist das auch keine binomische Formel. In diesem Fall wird die Klammer mit dem Distributivgesetz aufgelöst.

---

wie hasst du das (1/6·x³ - 2/3·x²) - (2/3·x³ - 1/6·x⁴)aufgelöst dur multiplikation?

---

Hier sehr kleinschrittig

(1/6·x^3 - 2/3·x^2) - (2/3·x^3 - 1/6·x^4)

= 1/6·x^3 - 2/3·x^2 - 2/3·x^3 + 1/6·x^4

= 1/6·x^4 + 1/6·x^3 - 2/3·x^3 - 2/3·x^2

= 1/6·x^4 + 1/6·x^3 - 4/6·x^3 - 2/3·x^2

= 1/6·x^4 - 3/6·x^3 - 2/3·x^2

= 1/6·x^4 - 1/2·x^3 - 2/3·x^2

---

= 1/6·x⁴ + 1/6·x³ - 2/3·x³ - 2/3·x²

= 1/6·x⁴ + 1/6·x³ - 4/6·x³ - 2/3·x^{2
                                        --------
wie kommst du auf diese 4/6 von 2/3? und als du die klammern gelöst hast warum dann nur ein vorzeichenwechsel}

Answer 2

Es geht um die Länge der Strecke \(PQ\). Die Funktionen anzuschauen war bereits eine gute Entscheidung. Unten siehst Du sie nochmal ..

 .. zusätzlich habe ich zwei Punkte an der Stelle \(x=1\) eingezeichnet. Dies sind die beiden Punkte \(P\) und \(Q\) an der Stelle \(x=1\). Eine Gerade mit der Gleichung \(x=u\) ist eine Gerade, die parallel zur Y-Achse verläuft und alle Punkte auf dieser Gerade haben den gleichen X-Wert, der hier als \(u\) bezeichnet wird.

Die Länge der Strecke \(PQ\) ist nun nichts anderes als die Differenz der beiden Funktionswerte von \(f(x)\) und \(g(x)\) an der Stelle \(x=u\), wobei sich \(u\) nur im Intervall von -1 bis 2 bewegen soll. Demnach ist \(|PQ|\):

$$|PQ|= \frac{1}{6}u^2(u-4) + \frac{1}{6}u^3(u-4)= \frac{1}{6}u^2(u-4)(1+u)$$

Ableiten ergibt (ich gehe davon aus, dass Du weißt wie das geht - sonst bitte nachfragen):

$$\frac{ \text{d} |PQ| }{\text{d}u}= \frac{1}{6}u(4u^2-9u-8)$$

daraus folgen die drei Extrema \(u_1=0\) und \(u_{2,3}=\frac{1}{8}(9 \pm \sqrt{209})\). Wobei \(u_2 \approx 2,93\) außerhalb des Intervalls \([-1;2]\) liegt. Bleiben \(u_1=0\) (ein lokales Minimum) und \(u_3\approx -0,6821\) (ein lokales Maximum) über. Ein Blick auf die Funktionen zeigt, dass dies Sinn macht.

Bleiben noch die absoluten Extrema. Da genügt ein Blick auf die Graphen. Ein absolutes Maximum liegt bei \(u=2\) und bei \(u=-1\) liegt ein zweites Minimum mit \(|PQ|=0\). Wie lang die Strecke \(PQ\) dort ist, kannst Du jetzt bestimmt selbst berechnen ;-)

Falls Fragen offen sind, bitte melden.

Gruß Werner

Comments

Dein Weg ist auch sehr gut aber ich habe bei dir ab ableiten ergibt also bei deiner funktion nichts mehr verstanden... aber ich habe durch mathecoachs weg das verstanden weil der ziemlich banal gehalten war.. du hast da auch gut gemacht aber warum ist allen diese makierung so wichtig als würde es hier um punkte gehen

---

.. es ging mir weniger um die 'beste Antwort' als um Deinen Kommentar. Wenn jemand 'versteh' ich nicht' unter meine Antwort schreibt, dann muss ich einfach reagieren.

Mathecoachs und mein Weg sind übrigens identisch. Lediglich die Terme sind in anderer Form geschrieben. Ich ging davon aus, dass Du die Zwischenschritte bei der Ableitung selber schaffst. Es ist für die Antwortenden immer schwierig abzuschätzen, was genau der jeweilige Fragesteller kann und nicht kann - und wie tief man etwas erklären muss. Wir kennen Dich ja nicht ;-)

Gruß Werner

---

ja danke, ich weiß. Nächsten mal werde ich das besser regeln...

Answer 3

~plot~ 1/6x^2(x-4);-1/6*x^3(x-4);x=1.9 ~plot~

Es geht doch um die Länge der grünen Strecke zwischen g und f.

Deren Länge ist g(x) - f(x).

Betrachte also die Funktion d(x) = g(x) - f(x).

und untersuche sie auf Extrema im Bereich  -1<x<2 

Comments

verstehe ich nicht

Answer 4

Skizzieren sie die Graphen der Funktion f und g mit f(x)=1/6x²(x-4) und g(x)=-1/6x³(x-4) in ein gemeinsames Koordinatensystem.

Die Gerade mit der Gleichung x=u und -1<u<2  schneidet den graphen von f im punkt p und den Graphen von g im Punkt q.

Gemeint ist eine senkrechte Gerade an einer Stelle x.
Diese schneidet die Funktion.
Die Differenzfunktion ist der Abstand zwischen den
Funktionen
d ( x ) = f ( x ) minus g ( x )

Ermitteln sie alle relativen und absoluten Extrema
der Länge der Strecke PQ im Intervall (-1/2).

Min und Max Abstand ( Extrema ) ist zunächst
1.Ableitung bilden
2.Zu null setzen
3. x ausrechnen
und d ( x ) berechnen

Da ein Intervall angegeben ist auch die Randwerte
bestimmen
d ( -1 ) und d ( 2 )
Dann einmal alles auflisten.
Auf los gehts los.

Comments

wie komsst du darauf, dass man f(x)-g(x) rechnent um auf d(x) zu kommen sry wenn ich mich so blöde anstelle aber ich raffe es nicht und wenn ich die funktion d habe setzte ich dann einfach -1 und 2 ein?

---

so habe d(x)=1/6x^2 (x-4)+1/6x^3 (x-4)

---

Mathlauch,
die Funktion f ( x ) hat für ein bestimmtes
x z.B 0.5 einen bestimmten Funktionswert
f ( 0.5 ) = 1/6x²(x-4) = 1/6 * 0.5^2 * ( 0.5 - 4 )
f ( 0.5 ) = - 0.1458

die Funktion g ( x ) hat für ein bestimmtes
x z.B 0.5 einen bestimmten Funktionswert
g ( 0.5 ) = -1/6x³(x-4) = - 1/6 * 0.5^3 * ( 0.5 - 4 )
g ( 0.5 ) = 0.073

Der Abstand zwischen diesen Funktionswerten
ist 0.073 minus ( -0.1448 ) = 0.218

Auf dieselbe Zahl kommst du auch wenn du
rechnest
d ( x ) = g ( x ) minus f ( x )
d ( x ) = -1/6 * x^3 * ( x - 4 ) - 1/6 * x^2 * ( x-4 )
d ( x ) -1/6 * ( x - 4 ) * ( x^3 + x^2 )
d ( 0.5 ) = -1/6 * ( 0.5 - 4 ) * ( 0.5^3 + 0.5^2 )
d ( 0.5 ) = 0.218

d ( x ) ist der Abstand zwischen den
Funktionen.

---

Hallo mathelauch.

ich meine es gut mit dir.

Auf diese Frage haben dir 4 Antwortgeber
20 Beiträge abgegeben.

Deine Reaktion ist meist " verstehe ich nicht ".

Das zeigt das die Beantwortung der Frage
zur Zeit noch über deinen Möglichkeiten
liegt.

Vorschlag :
- mach die Schulunterrichtmathematik mit
- falls du darüber hinaus etwas tuen
willst dann schau dir im Internet Lernvideos
über den Schulstoff an.
- falls du Fragen dazu hast dann stelle sie
auch im Forum ein.
- dann schreibst du alle Mathearbeiten mit " gut "

  Gib dir etwas Zeit das Basiswissen für die
höhere Mathematik zu erwerben.

  mfg Georg

---

sag mal das ist ein schlechter witz jetzt, willst du behaupten das ich im untericht schlafe? wir haben halt nicht alle aufgaben besprochen und außerdem lerne ich seit zwei wochen jeden tag 4-5 stunden für mathe und physik was soll ich denn noch mehr machen?

lernvideoes schau ich mir oft genug an und die sind meistens scheisse weil dort immer die einfachen aufgaben rangenommen werden die ich mitlerweile schon verstanden habe und zu den schweren aufgaben wir nie so wirklich was erklärt was das betrift und das war jetzt bitte auch das letzte mal das du mich darauf verweist wie kake ich in mathe bin ich sorge schon über mich selbst. höhere mathermatik ich bezweifel das ich mathe studieren werde^^