Quadratische Funktionen: Nullstellen bestimmen f(x)=4x²-10x+3a

Question

Aufgabe:

Für welche a ∈ ℝ haben die Parabeln mit den folgenden Gleichungen keine bzw. genau eine bzw. zwei verschiedene Nullstellen:

a) f(x) = 4x^2 - 10x + 3a

b) f(x) = -x^2 + 8x + 6a

Answer 1

Hello again :-)

Bei diesen Aufgaben kann man die p-q-Formel anwenden:

x² + px + q = 0

Dann sind die Nullstellen: 

x_1/2 = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Vorne muss x² stehen und nicht ein Vielfaches oder ein Teil davon. 

 

a)

f(x) = 4x² - 10x + 3a

umgewandelt in 

x² - 10/4 * x + 3/4 * a

x_1/2 = 5/4 ± √(25/16 - 3/4 * a)

Wir bekommen genau eine (doppelte) Nullstelle, wenn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen = 0 ist

25/16 - 3/4 * a = 0

25/16 = 3/4 * a

25/16*4/3 = a

Wenn a = 25/12, dann hat die Funktion genau eine Nullstelle.

 

Wir bekommen keine Nullstelle, wenn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen < 0 ist, denn aus einer negativen 

Zahl kann man keine reelle Wurzel ziehen.

25/16 - 3/4 * a < 0

25/16*4/3 < a

Wenn a > 25/12, dann hat die Funktion keine Nullstelle.

 

Wir bekommen 2 Nullstellen, wenn der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen > 0 ist.

Wenn a < 25/12, dann hat die Funktion zwei Nullstellen. 

 

b)

f(x) = -x² + 8x + 6a

Wir müssen vorne x² stehen haben, deshalb

x² - 8x - 6a = 0

x_1,2 = 4 ± √(16 + 6a)

Eine Nullstelle für 16 + 6a = 0

Keine Nullstelle für 16 + 6a < 0

Zwei Nullstellen für 16 + 6a > 0

Alles klar?

Besten Gruß