Es geht um einen Ferien-Club der seinen Mitgliedern die Pakete A, B und C anbietet. Im Modell werden A-Nutzer, B-Nutzer, C-Nutzer und Nicht-Nutzer von Paketen unterschieden. Das ist eine Abi-Aufgabe, die ich im Internet gefunden habe, jedoch die "Lösungsskizze" nicht verstehe:
Es ist \( \left(\begin{array}{llll}{0} & {0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}{x_{A}} \\ {x_{B}} \\ {x_{C}} \\ {x_{N}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x_{C}} \\ {x_{A}} \\ {x_{B}} \\ {x_{N}}\end{array}\right) \)
Das bedeutet, dass die Anteile zwischen den Paketpräferenzen \( A, B \) und \( C \) mit jedem Zeitschritt zyklisch vertauscht werden, während der Anteil der Nicht-Nutzer konstant bleibt.
Gesucht war sozusagen der Grenzvektor für eine Modellierung wie durch die gegebene Matrix. Ich habe auch den gleichen Vektor heraus, aber vestehe nicht inwieweit die "Anteil der Paketpräferenzen A, B und C vertauscht werden" und vorallem wieso mit jedem Zeitschritt (es ist ja eine Grenzverteilung?) und was hat das mit zyklisch zu tun (es geht ja hier nicht um Populationsprozesse...)? Ich bitte um eine Erklärung :)
Hier nochmal die Aufgabenstellung:
Ferien-Club (erhöhtes Anforderungsniveau)
Ein Ferien-Club bietet seinen Mitgliedern regelmäßig drei günstige Sommer-Urlaubsangebote:
Ferien-Paket \( A, \) Ferien-Paket \( B \) und Ferien-Paket \( C \).
Die Anzahl der Clubmitglieder ändert sich im Laufe der Jahre. Dennoch gibt es ausgiebige Erfahrungen über die Nutzung der Ferien-Pakete, die in dem nachfolgenden Modell zusammengefasst sind:
Die Verteilung der Nutzer eines Sommerangebots nach Abschluss aller Buchungen werde durch einen Verteilungsvektor \( \vec{n}=\left(\begin{array}{l}{x_{A}} \\ {x_{B}} \\ {x_{C}} \\ {x_{N}}\end{array}\right) \) beschrieben,
wobei \( x_{A} \) für den Anteil derjenigen Clubmitglieder steht, die das Paket \( A \) nutzen, \( x_{B} \) für den Anteil derjenigen Clubmitglieder, die das Paket \( B \) nutzen, \( x_{C} \) für den Anteil derjenigen Clubmitglieder, die das Paket \( C \) nutzen und \( x_{N} \) für den Anteil derjenigen Clubmitglieder, die kein Ferien-Paket nutzen.
Die unten stehende Übergangsmatrix \( M \) beschreibt im Rahmen des Modellzusammenhangs \( \vec{n}_{t+1}=M \cdot \vec{n}_{i} \) den Übergang von der Verteilung zum Zeitpunkt \( i(i \in \mathbb{N}) \) zur Verteilung zum Zeitpunkt \( i+1 \) im nächsten Jahr.
$$ M=\left(\begin{array}{llll} {0,3} & {0,3} & {0,4} & {0,3} \\ {0,2} & {0,3} & {0,3} & {0,5} \\ {0,4} & {0,2} & {0,2} & {0,2} \\ {0,1} & {0,2} & {0,1} & {0} \end{array}\right) $$
Die Anteile \( x_{A}, x_{B}, x_{C}, x_{N} \) sind jeweils als Dezimalzahlen (Genauigkeit: drei Nachkommastellen) anzugeben.
Im Rahmen der langfristigen Geschäftsplanung werden verschiedene Wechselverhaltensweisen der Mitglicder diskutiert. Zwei Verhaltensweisen wurden dabei genauer betrachtet, zu diesen Verhaltensweisen gehören die beiden Matrizen \( P \) und \( T \) :
$$ P=\left(\begin{array}{llll} {0} & {0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right) \quad T=\left(\begin{array}{llll} {0,3} & {0,3} & {0} & {0,3} \\ {0,2} & {0,3} & {0} & {0,5} \\ {0,4} & {0,2} & {1} & {0,2} \\ {0,1} & {0,2} & {0} & {0} \end{array}\right) $$
f) Untersuchen Sie jeweils das langfristige Verhalten eines durch \( P \) und eines durch \( T \) modellierten Umverteilungsprozesses
