Bestimmen einer ganzrationalen Funktion 3ten Grades

Question

ich habe die Bedingungen f(0) =0

                                       f(5)=100

                                       f´(5)=0

                                       f´´(2)=0

Wie löse ich das LGS mit dem Gauß Verfahren ?

Answer 1

Hi,

Ansatz

y = ax^3+bx^2+cx+d

y' = 3ax^2 + 2bx + c

y'' = 6ax+2b

 

Bedingungen einsetzen:

d = 0                                           I

125a+25b+5c+d = 100           II

75a+10b+c = 0                        III

12a+2b = 0                              IV

 

Setze direkt in II d=0 ein. Dann 5*III-II

125a+25b+5c = 100             II

250a+25b = -100                   V  -> 10a+b = -4

12a + 2b = 0                        IV

 

IV-2*V

125a+25b+5c = 100             II

250a+25b = -100                 V

-8a = 8

 

Hieraus:

a=-1

Nach oben eingesetzt:

b = 6

c=15

 

Es ist also f(x) = -x^3+6x^2+15x

 

Grüße

Comments

das mit dem Pfeil ,wo steht  10a +b = -4 versteh ich noch nicht ganz

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Ich hatte mir erlaubt der Einfachheit wegen durch 25 zu dividieren. Ich hatte vergessen das zu vermerken.

Dann klar? ;)

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darf man das so einfach ?  und welche Gleichung benutze ich um c herauszufinden ?

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Ja, das darf man. Solange Du die gesamte Gleichung (also beide Seiten) durch 25 dividierst, änderst Du ja nichts und es passt.


Setze das nun bekannte a in V ein. Dadurch erhältst Du b. Damit dann in Gleichung II ;).

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könnte ich auch anstatt durch 25 zu rechnen 12a+2b mal 12,5 rechnen und dann minus  die dritte  nehmen ?

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Ja, das ist ebenfalls möglich.

Der von mir vorgeschlagene Weg ist nur eine Möglichkeit von unendlich vielen.

Ich arbeite halt mit kleineren Zahlen, was angenehmer sein mag ;).

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aber dann kommt da a=0 raus
also da kommt dann -100a=-100 raus und dann kann ich ja +100 nehmen dann kommt da a=0 raus

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Nein kannst Du nicht.

-100a = -100    |:(-100)

a = -100/(-100) = 1


Das ist aber ohnehin falsch. Beachte 0-(-100) = 100

-100a = 100   |:(-100)

a = 100/(-100) = -1


Einverstanden? ;)

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ja :)
Und was ist wenn ich jetzt mehrere Bedingungen habe ,welche drei nehm ich dann um  das genauso wie hier zu machen ?

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Du kannst immer mit allen arbeiten.

Bezeichne sie mit römischen Zahlen, lasse dann die erste Gleichung stehen und sorge dafür, dass bei den folgenden jeweils eine (aber die gleiche) Variable eliminert wird.

Fahre fort in dem Du nun wieder die erste, diesmal aber auch die zweite Gleichung stehen lässt. Bei den anderen eliminierst Du wieder eine (aber die gleiche) Variable.

Das mache so lange, bis Du am Ende nur noch eine Variabe stehen hast und diese lösen kannst. Dann einfach "rückwärts" einsetzen. Also in die vorletzte Zeile mit nur 2 Variablen. Die eine kennst Du ja, die andere kannst Du bestimmen. Dann mit den beiden Variablen in die drittletzte Zeile und so weiter ;).

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ok,also angenommen ich habe 3 mal 4 Bedingungen ,dann kann ich mir jeweils 4 Bedingungen aussuchen mit denen ich dann a,b,c,d herausfinde?

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3 mal 4 Bedingungen

Wie meinst Du das?

Normal hat man genauso viel Bedingungen wie gebraucht werden^^. Also bei einer Funktion dritten Grades hat man meist nur 4 Bedingungen (y=ax^3+bx^2+cx+d). Solltest Du aber 5 oder mehr Bedingungen haben, kannst Du zu Beginn mit 4 beliebigen Bedingungen arbeiten (solange sie unabhängig von den anderen sind). Du musst am Ende aber überprüfen ob die Funktion auch die anderen Bedingungen erfüllt.