Hallo ?! :D
Für gerade n gilt ggT(n, n+2) = 1 schon mal nicht, denn für alle n ∈ ℕ gilt 2|n und 2|n+2, d.h. ggT(n, n+2) >= 2 für gerade n.
Bleiben nur noch die ungeraden n übrig. Ist n ungerade, so ist auch n+2 ungerade.
Bleibt zu zeigen, dass ggT(n, n+2) = 1 für ungerade n ∈ ℕ gilt.
Sei d = ggT(n, n+2), dann gilt d|n und d|(n+2).
Dann gibt es x, y ∈ ℕ mit dx = n und dy = n+2.
Wir subtrahieren die erste von der zweiten Gleichung und erhalten
dy - dx = n+2 - n
d(y-x) = 2
Die Gleichung kann nur aufgehen, wenn d=2 und (y-x)=1 oder wenn d=1 und (y-x)=2 ist.
D.h. ggT(n, n+2) = 2 oder ggT(n, n+2) = 1.
Da n, n+2 ungerade sind, fällt die erste Möglichkeit weg und es folgt ggT(n, n+2) = 1 gilt
für ungerade n ∈ ℕ.
Beste Grüße
gorgar
