Quadratische Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung schneller zu lösen?

Question

Hallo.Ich hab mal eine Frage und zwar es gibt ja die Pq Formel um die nullstelle zu berechnen aber daneben gibt es ja auch die quadratische ergänzung...Meine Lehrerin meinte,dass man irgendwie nur zwei Schritte ber der quadratischen ergänzung braucht um die Nullstelle zu berechen.Könnte mir jemand das erklären am besten mit beispielen?

Liebe Grüße

Answer 1

Hi,

da ich gerade eine quadratische Ergänzung gemacht habe, möchte ich darauf kurz hinweisen:

https://www.mathelounge.de/47669/allgemeinform-scheitelform-bei-der-quadratischen-funktion

 

Betrachte in erster Linie x²-3x und versuche einen Binomi zu basteln:

x²-3x     -4

=x²-2*1,5*x     -4

 

Du kannst nun a=x und b=1,5 identifizieren. Denn es ist ja a²-2ab+b² = (a-b)².

Demnach ist b² = 1,5² = 2,25. Das füge nun an um die binomische Formel zu komplettitieren. Achte darauf, dass Du so die Funktion änderst. Subtrahiere also sofort wieder!

 

=x²-2*1,5x+2,25      -2,25-4

=(x-1,5)²     -2,25-4

=(x-1,5)²-6,25

 

Nehmen wir dies als Beispiel um vollens die Nullstellen zu finden:

(x-1,5)^2-6,25 = 0   |+6,25

(x-1,5)^2 = 6,25       |Wurzel ziehen. Vorsicht! Doppeltes Vorzeichen rechts

x-1,5 = ±√6,25 = ±2,5  |+1,5

x_1,2 = 1,5±2,5

x₁ = -1

x₂ = 4

 

Du siehst, wenn die quadratische Ergänzung bereits vorliegt ist obiges Verfahren sehr simpel. Muss man aber erst noch quadratisch ergänzen, ist das ganze aber doch aufwendiger als die pq-Formel wie ich finde :).

Grüße