Der Reihe nach:
Also erster Summand abgeleitet ist:
$$ 2\pi { r }^{ 2 }->4\pi r $$
Zweiter Summand:
$$ 2\pi r->2\pi $$
Dritter Summand:
$$ \frac { 200 }{ \pi { r }^{ 2 } } ->-\frac { 400 }{ \pi { r }^{ 3 } } $$
Wie kommt man jetzt darauf?
Antwort:
Nimm den Faktor vorweg:
$$ \frac { 200 }{ \pi { r }^{ 2 } } ->-\frac { 200 }{ \pi } *\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } $$
Bei diesem 1/r^2 sollte jetzt etwas dämmern...
1/r^2 = r^-2
r^-2 können wir ableiten indem wir die Potenzregel nutzen
$$ \frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } ={ r }^{ -2 }->-2*{ r }^{ -3 } $$
das Schreiben wir jetzt erstmal um:
$$ \frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } ={ r }^{ -2 }->-2*{ r }^{ -3 }=\frac { -2 }{ { r }^{ 3 } } $$
Ich ziehe jetzt den Faktor davor und verrechne diesen:
$$ \frac { 200\quad (-2) }{ { \pi r }^{ 3 } } =\frac { -400 }{ { \pi r }^{ 3 } } $$
Die verwendete Regel von der ich sprach kennen wir ja schon von sowas wie x^2, das geht nämlich auch mit x^-2 sie lautet:
$$ { f(x)\quad =\quad x }^{ n }\quad ->\quad f'(x)\quad =\quad n*{ x }^{ n-1 } $$
Das angewendet auf dieses r^-2 ist:
$$ f(x)={ x }^{ n },\quad f'(x)\quad =\quad n*{ x }^{ n-1 },\quad { f(x)=r }^{ -2 }->f'(x)=-2{ r }^{ -3 } $$
