Vereinfachen mit der Kettenregel (mehrdimensionale Kettenregel)

Question

Ich soll mit der Kettenregel folgenden Ausdruck vereinfachen:

d/dx (f(x,alpha(x),beta(x)))

Folgende Kettenregel kenne ich:

d/dt (h(y(t)) = gradient(h(y(t)) * y'(t)

Ich verstehe nicht wie ich die Regel auf den Ausdruck anwenden soll, da f nicht wie h von einer sondern von 3 Variablen abhängt.

Answer 1

Sei f:Rⁿ→R als Funktion mehrerer Veränderlicher in a∈Rⁿ total differenzierbar und g₁,…,g_n:R→R in t∈R differenzierbare reelle Funktionen. Es gilt die verallgemeinerte Kettenregel $$\frac{df(g_1(t), \ldots , g_n(t))}{dt}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial{f}}{\partial{x_k}}g_k'(t)$$

Wir haben die Funktion $$f(x_1,x_2,x_2) \ \text{ mit } x_1=t, ~ x_2=\alpha(t), ~ x_3=\beta(t) $$

Dann ist $$\frac{df}{dt}=\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\cdot \frac{dx_1}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot \frac{dx_2}{dt}+\frac{\partial{f}}{\partial{x_3}}\cdot \frac{dx_3}{dt} \\ =\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\cdot 1+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot \alpha'(t)+\frac{\partial{f}}{\partial{x_3}}\cdot \beta'(t)\\ =\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}+\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}}\cdot \alpha'(t)+\frac{\partial{f}}{\partial{x_3}}\cdot \beta'(t)$$