Ich soll diesmal ein FlächenIntegral einer Ellipse berechnen. Gegeben sind die Parameter: x(t) = cos(2(t))y(t) = 8 sin(2t)Grenzen: von π/8 bis 7π/24Ergebnis: A = 7,188 sollte herauskommen Als Formel habe ich gewählt: A = ∫ y(t) * x´(t) dt Nachstehend mein Versuch, zur Lösung zu kommen. Aber irgendwie klappt es nicht. Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? vG
Leider kann ich das nicht alles lesen.
Wenn Du laut meiner Rechnung dann noch die Grenzen
einsetzt , kommst Du auf das angegebene Ergebnis.
A= -8 t +2 sin(4t)
Hallo Martin HS,
Mit Deinem ∫cos(2u)du stimmt etwas nicht, denn es ist ∫cos(2u)du = sin(2u)/2 + C.Bei Dir ist aber kein Sinus in der großen eckigen Klammer zu sehen.A = -8∫(1-cos(2u))/2 du ≠ [-8·u/2 - 1/4 cos(2u)]SondernA = -8∫(1-cos(2u))/2 du = -4∫(1-cos(2u)) du = -4∫du + 4∫cos(2u)du =-4u + 2 ∫cos(z)dz = (mit z = 2u und du = dz/2)-4u + 2 sin(z) = -4u + 2 sin(2u) =-4(2t) + 2 sin(2(2t)) ⇒A = -8t + 2 sin(4t)Grenzen eisetzenA = [-8(π/8) + 2 sin(4(π/8))] - [-8(7/24 π) + 2 sin(4(7/24 π))] =-8(π/8) + 2 sin(4(π/8)) + 8(7/24 π) - 2 sin(4(7/24 π))) =8(7/24 π) - 8(π/8) + 2 sin(4(π/8)) - 2 sin(4(7/24 π))) =(56/24 - 1)π + 2(sin(4(π/8)) - sin(4(7/24 π)) = (56-24)π/24 + 2(sin(π/2) - sin(28π/24)) 4π/3 + 2(1 - (-1/2)) =4π/3 + 3 ≈ 7,189
Gruß
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