Flächenintegral in Parameterdarstellung berechnen

Question

Ich soll diesmal ein FlächenIntegral einer Ellipse berechnen. Gegeben sind die Parameter:

x(t) = cos(2(t))
y(t) = 8 sin(2t)

Grenzen: von π/8 bis 7π/24

Ergebnis: A =  7,188 sollte herauskommen

Als Formel habe ich gewählt: A = ∫ y(t) * x´(t) dt

Nachstehend mein Versuch, zur Lösung zu kommen. Aber irgendwie klappt es nicht. Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? vG

Answer 1

Leider kann ich das nicht alles lesen.

Wenn Du laut meiner Rechnung dann noch die Grenzen

einsetzt , kommst Du auf das angegebene Ergebnis.

A= -8 t +2 sin(4t)

Answer 2

Hallo Martin HS,

Mit Deinem ∫cos(2u)du stimmt etwas nicht, denn es ist ∫cos(2u)du = sin(2u)/2 + C.
Bei Dir ist aber kein Sinus in der großen eckigen Klammer zu sehen.

A = -8∫(1-cos(2u))/2 du ≠ [-8·u/2 - 1/4 cos(2u)]

Sondern
A = -8∫(1-cos(2u))/2 du = -4∫(1-cos(2u)) du = -4∫du + 4∫cos(2u)du =
-4u + 2 ∫cos(z)dz = (mit z = 2u und du = dz/2)
-4u + 2 sin(z) = -4u + 2 sin(2u) =
-4(2t) + 2 sin(2(2t)) ⇒
A = -8t + 2 sin(4t)

Grenzen eisetzen
A = [-8(π/8) + 2 sin(4(π/8))] - [-8(7/24 π) + 2 sin(4(7/24 π))] =
-8(π/8) + 2 sin(4(π/8)) + 8(7/24 π) - 2 sin(4(7/24 π))) =
8(7/24 π) - 8(π/8) + 2 sin(4(π/8)) - 2 sin(4(7/24 π))) =
(56/24 - 1)π + 2(sin(4(π/8)) - sin(4(7/24 π)) =
(56-24)π/24 + 2(sin(π/2) - sin(28π/24))
4π/3 + 2(1 - (-1/2)) =
4π/3 + 3 ≈ 7,189

Gruß