Formulieren Sie Aussagen verbal

Question

Formulieren Sie die folgenden, mittels Quantoren geschriebenen Aussagen verbal, und entscheiden Sie, ob diese wahr oder falsch sind (dabei seien a eine ebene geometrische Fläche, V -Menge der Vierecke, R-Menge der Rechtecke, Q-Menge der Quadrate, P-Menge der Parallelogramme):

(i) ∃a ∈ V : a ∈ R ∧ a ∈ P ;

(ii) ∃!a ∈ R : a ∈ Q;

(iii) ∀a ∈ P : a ∉ Q;

(iv) ∀a ∈ V : (a ∈ Q ⇒ a ∈ R ⇒ a ∈ P) ;

(v) (∃a ∈ V : a ∈ Q ∧ a ∉ R) ⇒ (∀a ∈ P : a ∉ V ).

Answer 1

(i) ∃a ∈ V : a ∈ R ∧ a ∈ P ;

Es gibt ein Viereck, welches sowohl ein Rechteck als auch ein Parallelogramm ist

wahr. Nimm irgendein Rechteck

(ii) ∃!a ∈ R : a ∈ Q; 

   Es gibt genau ein Rechteck, das ein Quadrat ist

falsch, davon gibt es viele; nämlich alle Quadrate

(iii) ∀a ∈ P : a ∉ Q;

Alle Parallelogramme sind keine Quadrate

falsch. Nimm irgendein Quadrat

(iv) ∀a ∈ V : (a ∈ Q ⇒ a ∈ R ⇒ a ∈ P) ;

Für jedes Viereck gilt:

Wenn es ein Quadrat ist, dann ist es auch ein Rechteck

und dann ist es auch ein Parallelogramm    wahr

(v) (∃a ∈ V : a ∈ Q ∧ a ∉ R) ⇒ (∀a ∈ P : a ∉ V ).

Wenn es ein Viereck  gibt, das ein Quadrat aber kein Rechteck ist

dann sind alle Parallelogramme keine Vierecke.

wahr, weil es eine Folgerungsaussage mit 

falscher Voraussetzung ist.

Answer 2

1) Es gibt eine viereckige Fläche, die zugleich Rechteck und Parallelogramm ist. (wahr)

2) Es gibt genau ein Rechteck, das ein Quadrat ist. (falsch)

3) Alle Parallelogramme sind keine Quadrate (falsch)

4) Ist ein Viereck ein Quadrat, so ist es ein Rechteck und somit ein Parallelogramm. (wahr)

Answer 3

(i) es existiert ein(mind.) a element von V , für das gilt:  a ist element von  R und element von P

(ii) es existiert genau ein a element von R ,für das gilt: a ist elelment Q

(iii) Für alle a element P ,für die gilt: a kein element von Q

(iv) Für alle a elelmnt V, für die gilt: a ist element Q folgt a elemnt R folgt a element P

(v) es existiert ein a Element V, für die gilt:a element Q und a kein element R, folgt für alle a element P, für die gilt: a kein element von V.