Für x ∈ ℝ \ { 1 } und n ∈ ℕ0 gilt:
$$ \prod _{ k=0 }^{ n }{ (1+{ x }^{ 2^{ n } })\quad =\quad \frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ n+1 } } }{ 1-x } } $$
Induktionsanfang (n = 0)
Kommt man irgendwann mit dem 3. Binom darauf:
$$ 1+{ x }\quad =\quad \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1-x } =\frac { (1+x)(1-x) }{ (1-x) } \quad =\quad 1+x $$
Also stimmt der Induktionsanfang schon einmal.
Heißt wir kommen auf die Induktionsvoraussetzung:
$$ \exists n\in { ℕ }_{ 0 }\quad =\prod _{ k=0 }^{ n }{ (1+{ x }^{ { 2 }^{ n } } } )\quad =\frac { { 1-x }^{ { 2 }^{ n+1 } } }{ 1-x } $$
Induktionsschritt
$$ n\longmapsto n+1\quad :\quad \prod _{ k=0 }^{ n+1 }{ (1+{ x }^{ 2^{ n } } } )\quad =\quad \prod _{ k=0 }^{ n }{ (1+{ x }^{ 2^{ n } } } )\quad*\quad (1+{ x }^{ 2^{ (n+1)+1 } }) $$
Wir ersetzen das erste Produkt mit der Induktionsvoraussetzung:
$$ \frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ n+1 } } }{ 1-x } $$
Daraus folgt dann das hier:
$$ \frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ n+1 } } }{ 1-x } *1+{ x }^{ 2^{ (n+1)+1 } } $$
Sieht irgendjemand einen Fehler bzw. weiß wie man ab diesem Punkt weiter macht?
Am Ende muss ja $$\frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ (n+1)+1 } } }{ 1-x } $$ rauskommen damit der Beweis gültig ist.
Grüße und
