Wie bestimme ich alle Lösungen der folgenden Ungleichung für komplexe Zahlen?

Question

meine Ungleichung lautet |z-2i| / |z-4| <= 1

hier sind wirklich die Beträge gefordert. Über dem Bruchstrich steht |z-2i| und unter dem Bruchstrich |z-4|.

Dies soll kleiner gleich 1 sein.

Wie fange ich da am besten an? Bei der Division von komplexen Zahlen wird der Bruch ja mal dem Nenner genommen.

also in dem Fall  mal |z+4| / |z+4|

macht man das hier auch? oder ersetze ich z erst mit x + iy und nehme bilde dann gleich die Beträge?

Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar

Answer 1

$$ \frac { |z-2i| }{ |z-4| }<=1\\|z-2i|<=|z-4|\\z=a+ib\\|a+ib-2i|^2<=|a+ib-4|^2\\a^2+(b-2)^2<=(a-4)^2+b^2\\a^2+b^2-4b+4<=a^2-8a+16+b^2\\-4b+4<=-8a+16\\-b+1<=-2a+4\\-b<=-2a+3\\b>=2a-3 $$

Das sind also Zahlen in der komplexen Zahlenebene, die oberhalb der Geraden

b(a)= 2a-3 liegen.

Comments

b  ≥   2a -3   ist wohl richtig. 

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Jop danke für den Hinweis, hab ja mit -1 multipliziert.

Answer 2

oder ersetze ich z erst mit x + iy und  bilde dann gleich die Beträge? ->JA