Wie sind die Koordinaten des gegebenen Punktes und die Gleichung der Tangente?

Question

Gegeben sind eine Funktion f(x) sowie die x-Koordinate eines Punktes auf der Kurve. Ermittle die Koordinaten des Punktes P₀  (x₀ | (f x₀)) sowie die Gleichung der Tangente durch diesen Punkt.  

 

1. Aufgabe: f(x) = 1/2x³-1/2x²-4x+4

x₀= -1

 

2.Aufgabe:  f(x) = x³-6x²+9x

x₀₌ 2

Answer 1

Um eine Tangente an einem Punkt des Graphen zu bestimmen, braucht man den Anstieg an diesem Punkt.

1) Erstmal den Punkt auf dem Graphen ausrechnen: x₀ = -1  in die Funktionsgleichung f(x) = 1/2x3-1/2x2-4x+4 einsetzen. Daraus folgt f(x₀ = -1) = 7 = y₀

2) 1. Ableitung an der Stelle x0 = -1 bilden: f'(x) = 3/2*x² -x -4, f'(x₀ = -1) = 3/2*(-1)² -(-1) -4 = - 1,5

3) Tangente ist immer eine Gerade, also gilt hier die Geradengleichung y = m*x +n

m entspricht den Anstieg an der Stelle x₀ = -1, m = -1,5

n bestimmt man einfach, in dem man den Punkt (x0, y0) in die Geradengleichung einsetzt: 7 = -1,5*(-1) + n, n = 5,5

Daraus folgt die Gleichung der Tangente mit y = -1,5*x + 5,5

 

Aufgabe 2 analog...