Wie beweise ich Injektivität bei Verkettung von Funktionen?

Question

Hallo :)

Ich habe gestern schon eine Frage gestellt und bräuchte leider abermals Hilfe....

Seien A, B, C nicht leere Mengen, f : A ↦ B und g : B ↦ C Funktionen sowie h := g °  f : A ↦ C die Verkettung dieser Funktionen. Nehmen Sie an, dass h bijektiv ist und entscheiden Sie für die folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind. Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel als Begründung an.

(a) f ist Injektiv

(b) f ist Surjektiv.

(c) g ist Injektiv.

(d) g ist Surjektiv.

Kann mir vielleicht wieder nur an ( a) gezeigt werden, wie ich ansetzen muss?

Würde mich sehr freuen. Liebe Grüße :)

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EDIT: Wenn du Überschrift und Tags geschickt wählst, können sich in der Rubrik "ähnliche Fragen" durchaus schon automatisch gute Ansätze für deine Frage finden.

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Das hat mir bisher leider nicht weitergeholfen..... :/

Answer 1

"  f  injektiv "  beweist man meistens so:

Seien a,b ∈ A mit f(a) = f(b)

dann muss man daraus folgern (können), dass auch a=b

Hier hast du als Vor. h bijektiv

also muss man irgendwie das h mit reinbringen und hätte

f(a) = f(b)

==>  g( f(a) ) = g( f(b) ) , weil g eine Abbildung ist.

==>   h(a) = h(b) und weil h bijektiv ist,

also insbesondere injektiv

hat man a=b .               Damit wäre (a) bewiesen.

Ich denke, dass die anderen 3 auch stimmen.

Comments

Sorry ich habe noch mal eine Frage....ich kann den Schritten nicht ganz folgen

Ich dachte f ist Injektiv wenn  Alle a_i, a_j ∈ A mit a_i  ≠  a_j      f( a_i ) ≠  f( a_j   )

und ich versteh nicht warum h(a) = h(b) ein beweis für bijektiv ist...

oder verstehe ich das einfach völlig falsch?  :(

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                                a_i  ≠  a_{j   ==>}     f( a_i ) ≠  f( a_j   )

ist äquivalent zu     f( a_i ) =  f( a_j   ) ==>    a_{i  =}  a_j      

weil bei Folgerungen es immer so ist:

A ==> B ist äquivalent zu

nicht B ==> nicht A

Und mit den Gleichungen ist es meistens einfacher zu

beweisen als mit den Ungleichungen.

h bijektiv

==> h injektiv

==>   (  h(a) = h(b) ==> a = b )