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Lösungserklärung
Um die neuen Winkel \(WZ_{neu}\) und \(WY_{neu}\) im ursprünglichen Koordinatensystem in Bezug auf die vorgenommenen Drehungen um die Achsen z', y', und z zu bestimmen, müssen wir uns die Eigenschaften der Drehmatrizen und die Art und Weise, wie Drehungen kombiniert werden, genauer ansehen.
Eine Drehung um die z-Achse im Koordinatensystem um einen Winkel \(\theta\) kann durch die folgende Matrix dargestellt werden:
\(
R_z(\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
Die Drehung um die y-Achse durch einen Winkel \(\phi\) wird beschrieben durch:
\(
R_y(\phi) =
\begin{pmatrix}
\cos(\phi) & 0 & \sin(\phi)
0 & 1 & 0
-\sin(\phi) & 0 & \cos(\phi)
\end{pmatrix}
\)
Für die gegebenen Drehschritte um WZ um die z-Achse, gefolgt von der Drehung um WY um die y-Achse, führt zu einer Gesamtdrehung, die durch das Produkt der Drehmatrizen dargestellt wird:
\(
R_{gesamt} = R_y(WY) \times R_z(WZ)
\)
Anschließend werden weitere Drehungen um die Achsen z' und y' durchgeführt, die im neuen, bereits gedrehten Koordinatensystem stattfinden. Da das Koordinatensystem bereits gedreht wurde, sind die Achsen z' und y' nicht mehr die Originalachsen z und y, was die Berechnung ohne explizite Matrixmultiplikation und -transformation kompliziert macht.
Ohne die spezifischen Berechnungen der Drehungen um die Achsen z' und y' in das ursprüngliche Koordinatensystem zurückzuübersetzen, ist es schwierig, einen direkten Ausdruck für \(WZ_{neu}\) und \(WY_{neu}\) zu geben. Die Änderung der Winkel im ursprünglichen System hängt von den kombinierten Effekten all dieser Transformationen ab, welche üblicherweise durch aufeinanderfolgende Anwendung der entsprechenden Drehmatrizen und anschließender Extraktion der resultierenden Winkel aus der Gesamtdrehmatrix erfolgt.
Jeder Satz von Drehungen im 3D-Raum kann als eine einzige Drehung um eine bestimmte Achse durch einen spezifischen Winkel verstanden werden, dank des Rodrigues-Drehformel. Jedoch die direkte Anpassung von \(WZ_{neu}\) und \(WY_{neu}\) im Kontext von konsekutiven Drehungen um verschiedene Achsen erfordert im Allgemeinen die dezidierte Ausführung der Matrixmultiplikationen und könnte in einem nicht-trivialen Ausdruck resultieren, der spezifisch die Sinus- und Cosinusfunktionen von sowohl den ursprünglichen als auch den zusätzlichen Drehwinkeln (\(\Delta Z, \Delta Y\)) involviert.
Um zu einem präzisen Ausdruck für die neuen Winkel in Bezug auf das ursprüngliche Koordinatensystem zu kommen, wäre es erforderlich, die spezifischen Transformationen durchzuführen und die Effekte der Drehungen um z' und y' auf die ursprünglichen Drehungen um z und y durch explizite Anwendung der Drehmatrizen zu analysieren. Anschließend müsste man die finale zusammengesetzte Drehmatrix in Termini der ursprünglichen Koordinatenachsen dekonstruieren, um die gesuchten Beziehungen zwischen den alten und neuen Winkeln zu bestimmen. Das ist allerdings ohne tatsächliche Matrixoperationen und unter Berücksichtigung der hier gegebenen Einschränkungen nicht direkt umsetzbar.
