Goniometrische Gleichungen - Mir fehlt der Ansatz (2)

Question

Aufgabe
$$sin(x+10°)\quad =\quad tan40°\quad $$

Auch bei dieser Aufgabe fehlt mir der Ansatz, 
Es muss wohl irgend ein gesetz geben, wie ich das sin(x+10) umschreiben könnte? 

Answer 1

Hallo limonade,

im Folgenden bedeutet  " + k * 360° " jeweils, dass es unendlich viele Lösungen gibt, die sich aus  diesen durch Addition beliebiger ganzzahliger Vielfacher von 360° (Periode der Sinusfunktion) ergeben.

sin(x+10°) = tan(40°)

> ....  ein Gesetz geben, wie ich das sin(x+10) umschreiben könnte?  

Du "beseitigst" den Sinus, indem du die Umkehrfunktion  sin^-1 (genauer: arcsin) anwendest:

x +10° = sin^-1(tan(40°))  +  k * 360°    oder   x+10° = 180° - sin^-1(tan(40°)  +  k * 360°

x = sin^-1(tan(40°)) - 10°  +  k * 360°    oder   x = 180° - 10° - sin^-1(tan(40°))  +  k * 360°

x  ≈  57,045° - 10°  +   k * 360°    oder   x  ≈  170° - 57,045°  +  k * 360° 

x  ≈  47,045°  +  k * 360°      oder    x  ≈ 112,955°  +  k * 360°     mit  k ∈ ℤ   

Gruß Wolfgang

Answer 2

sin^{-1}(tan40°)=x+10°

x = sin^{-1}(tan40°)-10°