goniometrische Gleichungen: sin(3*x)-sin(5*x)=0

Question

ich komme bei folgender Gleichung nicht weiter. Mir fehlt irgendwie der Ansatz wie ich es umformen soll.

sin(3*x)-sin(5*x)=0

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Kann es sein das man das was im sinus ist z.B. in 3x=x+2x umformen muss?

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Ich hätte vermutet, dass 5x = 3x + 2x genügt. Aber du müsstest mal rechnen, um zu sehen, ob das klappt.

Eine Lösung ist sicher x = 0°.

Answer 1

sin(3*x) - sin(5*x)=0

sin(3x) = sin(5x)

5x = 3x + k * 2π       oder     5x = π - 3x + k * 2π  

2x = k*2π    oder      8x = π + k * 2π

x = k * π      oder    x = π/8 + k * π/4       [ k∈ℤ ]

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

die Idee hinter deinem Lösungsweg ist doch das der Sinus nur den gleichen Wert hat wenn das gleiche im Argument steht. Deswegen war mein Ansatz 5x=3x. Was ja wohl nicht ganz falsch ist aber woher kommt das k2pi? Ich denke mal es hat mit der periodischen Wiederholung der Lösung zu tun. Verstehe aber nicht warum du es dort hinzugefügt hast.

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... dass der Sinus nur den gleichen Wert hat wenn das gleiche im Argument steht. Deswegen war mein Ansatz 5x=3x. Was ja wohl nicht ganz falsch ist 

zwei x-Werte, von denen der eine um ein Vielfaches von 2π auf den zweiten verschoben ist, haben den gleichen Sinuswert.

Außerdem hat der sin  zwischen 0 und 360° ( 2π)   zu jedem Wert  x₁  an der Stelle  π - x₁  den gleichen Wert.

Die berechneten Lösungen sind alle unendlich vielen Lösungen aus ℝ.

5x = 3x  ergibt nur die eine Lösung x = 0    [ k=0 auf der linken Seite]

Answer 2

(gibt es hier niemanden der richtig !! rechnen kann ??)

Die Lösung ist:

$$ L = \left\{ c\pi,~ {2c+1 \over 8}\,\pi \right\} $$

mit \( c \in \Bbb Z \).

Grüße,

M.B.

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Kommen sie (Wolfgang MatheMb)beide nicht auf das gleiche Ergebnis? Wie wäre denn dann die richtige rechnung ?

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@Tundragrad:

Das ist das gleiche Ergebnis mit c = k.

(2c + 1) / 8 * π  =  c * π/4 + π / 8  = π / 8 +  k * π/4 

Meine Rechnung ist richtig

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Unknown: Offtopic entfernt (da zusammenhangslos)

Answer 3

sin(3*x)-sin(5*x)=0

sin(5x) = sin (2x + 3x) = sin(2x)*cos(3x) + cos(2x) * sin(3x)

außerdem :sin(3*x) = 3 sin(x) - 4 sin³(x)


cos(3x) = 4 cos³(x) - 3 cos(x)


sin(2x) = 2 sin(x)cos(x)


cos(2x) = 1 - 2sin²(x)


alles einsetzen und dann geht es wohl.

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wenn ich alles einsetze und sin(x) ausklammere, komme ich auf

sin(x) * ( -8 cos⁴(x) + 6 cos²(x) + 6 sin²(x) + 8 sin⁴(x) ) = 0

also sin(x) = 0 oder 

-8 cos⁴(x) + 6 cos²(x) + 6 sin²(x) + 8 sin⁴(x) = 0

-8 cos⁴(x) + 6  + 8 sin⁴(x) = 0und wegen cos²(x) = 1 - sin²(x)

-8 (  1 - sin²(x) )²  + 6  + 8 sin⁴(x) = 0

-8*( 1 - 2 sin²(x) +  sin⁴(x) )  + 6  + 8 sin⁴(x) = 0

- 8    + 16 sin²(x)   + 6 = 0 

16 sin²(x)   =  2 

      sin²(x)  = 2 / 16

| sin(x) | =  √2  / 4       

Also sind die Lösungen wohl alle x mit       sin(x) = 0   oder     | sin(x) | =  √2  / 4