ich muss im Zuge einer schriftlichen Abgabe für die Uni folgende Aufgaben lösen. Könnte bitte jemand kontrollieren, ob Beweise ausführlich genug erläuert wurden? Beweisen ist ist ja immer so 'ne Sache ...
Edit: Da ich mit dem Formeleditor noch nicht ganz klarkomme, hab ich das Ganze auch noch als LaTeX-PDF-Dokument angehängt ... UELinAl_03.pdf (65 kb)
Aufgabe 1
$$\text{Sei }A\text{ eine Menge und }\sim\text{ eine Äquivalenzrelation auf }A\text{. Zeigen Sie: Es gibt eine Menge }B\text{ und eine Funktion }f: A \rightarrow B\text{, so dass }\forall a, b \in A: a \sim b \Leftrightarrow f(a) = f(b)$$
$$\text{Wir wählen }B = A/\sim\text{ und }f\text{ als }f: A \rightarrow A/\sim; x \mapsto [x]_\sim\text{ mit }A/\sim := \{[x]_\sim : x \in A\}\text{.Per Definition gilt }[x]_\sim := {y \in A : x \sim y}\text{. Es ist also }a \sim b\text{ genau dann, wenn }[a]_\sim = [b]_\sim\text{. Mit }f\text{ muss also auch gelten }a \sim b \Leftrightarrow [a]_\sim = [b]_\sim \Leftrightarrow f(a) = f(b)\text{, was zu zeigen war.}$$
Aufgabe 2
Nach Satz 6 hat jede Funktion $$f: A \rightarrow B$$ eine Zerlegung $$f = h \circ g$$, bei der g surjektiv und h injektiv ist. Kann man auch für jedes f eine Zerlegung $$f = h \circ g$$ finden, bei der g injektiv und h surjektiv ist? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Gegenbeispiel.
Wir betrachten $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; x \mapsto 2$$ Laut Angabe müsste eine Funktion $$h: X \rightarrow \mathbb{R}$$ existieren, die surjektiv ist, wobei X beliebig sei. Da aber nicht gefordert wurde, dass f surjektiv ist, gilt insbesondere, dass auch h nicht surjektiv sein muss. Das ist ein Widerspruch, die Behauptung ist damit widerlegt.
