Ableitung / Differenzierung richtig gerechnet? (a) g(x) = 10 • ln (e^x) und (b) h(x) = -2 • cos(x^2) • ∂g(x)/∂x

Question

Hallo alle zusammen,

ich brauche Hilfe bei der Kontrolle folgender Ableitung.

Die Aufgabe lautet: Bestimme die erste (∂/∂x) und zweite Ableitung (∂²/∂x²) der folgenden Funktionen:

(a) g(x) = 10 • ln (e^x) und (b) h(x) = -2 • cos(x²) • ∂g(x)/∂x 

Hier erstmal sind meine Ergebnisse:

Für (a): g´(x) = e^x/e^x                                                  Für (b) : h´(x) = + sin(2x) • g(x)/x

            ^⇒ g´´(x) = e^x/e^x                                                         h´´(x) = 2 cos (2x) • g

Notes: Ich habe für (a) folgenden Definitionen verwendet:        Notes: Definitionen für (b) :

           Zum einem die Definition f(x) = e^x                                         Die Definitionen für Sin und Cos:

          ⇒ f´(x) = e^x                                                                       Sinus f(x)= sin(x) ⇒ f´(x)=cos(x)

            Zum anderen die Definition für ln(x):                               und cos(x) ⇒ f´(x)= - sin (x)

          f(x) = ln (x)

         ⇒ f´(x) = 1/x 

            

Meine Fragen: Hab ich die Ableitungen richtig ausgerechnet? Und muss man bei (b) die Definition für die partielle Ableitung verwenden oder sind ∂ und x in diesem Falle variablen die bei der Bestimmung der ersten und zweiten Ableitung wegfallen? Ich habe den Teil mit ∂ nicht wirklich verstanden. 

sAviOr 

Answer 1

(a) g(x) = 10 • ln (e^x)

g'(x)=10e^x/e^x=10

g''(x)= 0

 (b) h(x) = -2 • cos(x²) • ∂g(x)/∂x =-2 • cos(x²) • 10=-20• cos(x²)

h'(x)=40x·sin(x²)

h''(x)=40sin(x²)+80x²cos(x²).

Comments

mit welcher Regel hast du von -20•cos(x²) auf 40x•sin(x²) abgeleitet. Ich komme immer wieder auf 2sin(2x) (ergibt x² nicht abgeleitet 2x ?) Wie sind Sie auf +40 gekommen? MfG

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- cos(x²) abgeleitet ergibt 2x·sin(x²). Da der Funkionsterm mit sowohl 2 als auch mit 10 (Ableitung von g(x)) multipliziert werden soll, muss auch die Ableitung mit 2·10=20  multipliziert werden. 20· 2x·sin(x²)=40x·sin(x²).

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Danke jetzt hab ich es verstanden.

Answer 2

g(x) = 10·LN(e^x) = 10·x·LN(e) = 10·x

g'(x) = 10

g''(x) = 0

h(x) = - 2·COS(x^2)·g'(x) = - 2·COS(x^2)·10 = - 20·COS(x^2)

h'(x) = 40·x·SIN(x^2)

h''(x) = 80·x^2·COS(x^2) + 40·SIN(x^2)

Comments

Wieso fällt bei g(x) bei 10 e^x/e^x die e^x einfach weg ist das nicht ein Widerspruch zur Regel f(x)= e ⇒ f´(x)= e^x ? Ich hab das so verstanden das mit der Regeln die e^x bei den beiden Ableitungen bestehen bleiben.

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LN(e^x) lässt sich rein bevor man die Ableitung macht zu x vereinfachen. Benutze einfach das Logarithmengesetz.