Ableitungsfunktion: a) f(x)=x(5-x) und b) f(x)=(x+2)² mit h-Methode

Question

Mit der Ableitungsfunktion ausrechnen

a) f(x)=x(5-x)

und b) f(x)=(x+2)²

ich habe bei a so gerechnet:

f(x+h)-f(x)/h für h -> 0

f(x)= x*(5-x)(x+h)-x*5-x/h

dann hatte ich x(5x+5h-x²-xh)-(5-x)/h

und dann 5x²+5xh-x³-x²h-5x-x²/h
/ = steht für einen Bruchstrich

Ich muss einen Fehler gemacht haben und komme irgendwie nicht weiter :S


Ich bitte, um Hilfe da ich morgen alles fertig haben soll.


Ps: ich versuche es schon von alleine ich saß schon 2 STunden dran, aber das wird nichts

Answer 1

 

 

a) f(x) = x * (5 - x) = -x² + 5x

f'(x) = -2x + 5

Ausrechnen mit h-Methode - statt x₀ schreibe ich x, um Tipparbeit zu sparen :-) 

( -(x + h)² + 5 * (x + h) - [ -x² + 5x] ) / (x + h - x)

(-x² - 2xh - h² + 5x + 5h + x² - 5x) / (x + h - x)

(-h² - 2xh + 5h) / h

h (-h - 2x + 5) / h

- h - 2x + 5

Für immer kleiner werdendes h strebt dieser Term gegen -2x + 5

 

b)

f(x) = (x + 2)² = x² + 4x + 4

f'(x) = 2x + 4

Ausrechnen mit h-Methode (auch wieder x statt x₀ geschrieben) 

( (x + h)² + 4 * (x + h) + 4 - [x² + 4x + 4] ) / (x + h - x)

(x² + 2xh + h² + 4x + 4h + 4 - x² - 4x - 4) / h

(h² + 2xh + 4h) / h

h (h + 2x + 4) / h

2x + 4 + h

Für immer kleiner werdendes h strebt dieser Term gegen 2x + 4

 

Besten Gruß

Comments

Könntest du mir bitte noch einmal erklären, wie du auf das kommst ?

( -(x + h)2 + 5 * (x + h) - [ -x2 + 5x] ) / (x + h - x)

und auf

( (x + h)2 + 4 * (x + h) + 4 - [x2 + 4x + 4] ) / (x + h - x)


und wieso schreibst du (x + h - x)


danach verstehe ich es (1. Binomische Formel, zusammenfassen h ausklammer und fertig :) )


Vielen Dank schon mal :)

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Wir rechnen mit einem Steigungsdreieck:

Zum Wert x gehört der Funktionswert f(x)

Zum Wert x+h gehört der Funktionswert f(x+h)

Die Steigung berechnet sich aus der

(Differenz der Funktionswerte f(x)) / (Differenz der x-Werte)

Also steht über dem Bruchstrich f(x+h) - f(x)

und unter dem Bruchstrich (x+h) - x

Und das habe ich einfach stur eingesetzt. 

Die Idee dahinter ist, dass das h immer kleiner wird, dass also auch das Steigungsdreieck immer kleiner wird. Ist es "unendlich klein", dann hat man den exakten Anstieg der Funktion in diesem Punkt. 

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und wieso jetzt ( -(x + h)2 + 5 * (x + h) - [ -x2 + 5x] ) / (x + h - x)

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Die Funktion lautet

f(x) = -x² + 5x

Über den Bruchstrich kommt f(x + h) - f(x)

In die Funktion schreiben wir für jedes x nun x + h, um f(x + h) zu erhalten: 

f(x + h) = - (x + h)² + 5*(x + h)

f(x) bleibt natürlich -x² + 5x

Und unter den Bruchstrich kommt (x + h) - x

Alles zusammen ergibt genau den Ausdruck, zu dem Du Deine letzte Frage gestellt hast :-) 

Jetzt etwas klarer?

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aer woher nimmst du das x² das gibt es doch gar nicht

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ich komme einfach auf keine binomische formeln, weil mir gesagt wure ich darf die Formel nur in das f einsetzen!


also sieht die Gleichung bei mir so aus

x*(5-x)(x+h)-x*5-x/h


und laut aussage meines lehrers soll ich nun weiterrechnen

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f(x) = x * (5 - x)

Über dem Bruchstrich: f(x + h) - f(x)

Unter dem Bruchstrich: (x + h) - x = h

Dann muss Deine Gleichung so aussehen: 

[ (x + h) * (5 - (x + h) ) - x * (5 - x) ] / h

Von binomischer Formel war nie die Rede :-)

Ich kam einfach deshalb auf x², weil ich die Klammern in der Funktion eliminiert habe: 

f(x) = x * (5 - x) = x * 5 - x * x = 5x - x² = -x² + 5x

Mir schien es leichter, mit dieser Form weiterzurechnen, Du kannst natürlich auch gerne bei der ursprünglichen Form f(x) = x * (5 - x) bleiben!

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wie kommst du auf (x + h) * (5 - (x + h) ) (rote) das in blau ist mir klar, bei roten kommt beir wenn ich einsetze

x(5-x)(x+h) und nicht (x + h) * (5 - (x + h) )

vielen vielen Dank schon mal

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Sehr gerne :-)

Du willst doch f(x + h) berechnen; das heißt, Du musst das x in der Ursprungsfunktion jeweils durch x + h ersetzen: 

f(x) = x * (5 - x)

Aus dem x wird x+h

Aus dem (5 - x) wird (5 - (x+h))

Also insgesamt: 

f(x+h) = (x+h) * (5 - (x+h))

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Dankesehr und wieso klammerst du das weg (5 - (x+h))  wieso darf man das ich hätte 5xh - x

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Die Zahl, die wir hier betrachten, ist x+h, also die Zahl, die um h größer ist als x. 

Nehmen wir jetzt mal als simples Beispiel x = 3 und h = 0,5 - ist wirklich nur ein Beispiel zum besseren Verständnis:

f(x) = x * (5 - x)

f(3) = 3 * (5 - 3) = 3 * 2 = 6 

Jetzt statt dem x = 3 die etwas größere Zahl x + h, also 3 + 0,5 eingesetzt:

f(x+h) = (x+h) * (5 - (x+h))

f(3+0,5) = (3+0,5) * (5 - (3+0,5)) = 3,5 * (5-3,5) = 3,5 * 1,5 = 5,25

Ich hätte statt 3 + 0,5 auch sofort schreiben können 3,5: 

f(3,5) = 3,5 * (5-3,5) = 3,5 * 1,5 = 5,25