Betragsungleichung: |x − 4| = x − 4 ≥ 3

Question

Ich habe folgende Frage zur folgender Betragsungleichung: |x − 4| = x − 4 ≥ 3 
Warum rechnet man beim 3 Fall:|x−4|= −x+4 ≥ 3
Und beim 4 Fall:                          |x−4|= x−4 ≥ 3 
Verstehe nicht wieso im 3. Fall -x gerechnet wird. Vielleicht kann mir einer die Regel erklären. 
Der gesamte Lösungsweg ist im Anhang 
Ich danke im voraus für eure Hilfe. 

Comments

Vllt hilft dir das

| x | = 1

Fall1

-x = 1  => x = -1

Fall 2

x= 1 => x= 1

Du hast als zeichnung

Eine V form

Und die lösung kommt 2 mal vor

Linke seite und rechte seite

Wenn es wäre

| x    | >= 1

Dann Lösung1 = (-unendlich ; -1] und Lösung2 [1; +unendlich)

Kommst du so weiter?

Answer 1

Hallo wuddy,

ich gehe mal davon aus, dass die Ungleichung   |x − 4|  ≥  3   gelöst werden soll.

Dann ist die Unterscheidung der Fälle 1 - 3 völlig unsinnig:   

Man rechnet man mit  zwei Fällen, die durch die  Nullstelle  x = 4  des Terms im Betrag festgelegt sind:

1. Fall:  x ≥ 4  , der Term im Betrag ist positiv, deshalb kann Letzerer entfallen:

       |x − 4|  ≥  3  ⇔  x - 4  ≥ 3   ⇔  x  ≥  7    →   L₁  =  [ 7 ; ∞ [

2. Fall:  x < 4  , der Term im Betrag ist negativ, deshalb muss beim Weglassen des Betrags ein Minuszeichen stehen:

        |x − 4|  ≥  3  ⇔   - (x - 4)  ≥ 3   ⇔  - x + 4  ≥  3  ⇔  1 ≥ x       →   L₂  = { }  

L  =  L₁  ∪  L₂  =  [ 7 ; ∞ [

Gruß Wolfgang